Можно ли пройти по всем кускам проволоки по пятиугольнику?

Да, можно пройти по всем кускам проволоки по пятиугольнику без отрыва проволоки. Для этого нужно использовать т.н. "Теорему Грэма", обнаруженную Рональдом Грэмом в 1940 году. Суть заключается в следующем. Если у вас есть пятиугольник (можно просто нарисовать его), и по его вершинам стягивается проволока, образуется цикл из пяти отрезков (проволоки), соединяющих вершины пятиугольника. То, что такая закольцовка проволоки возможна, было доказано Р. Грэмом для любого выпуклого многоугольника еще в 1940 году. Таким образом, ответ на ваш вопрос — да, можно пройти по всем кускам проволоки по пятиугольнику без отрыва проволоки, благодаря "Теореме Грэма".