помоги решить

Чтобы решить данное уравнение, следуем пошагово.

Задача 1

а) Решите уравнение:

\[ \frac{\log_2^2 (\sin x) + \log_2 (\sin x)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0 \]

Решение:

1. Рассмотрим числитель:
   Обозначим \( y = \log_2 (\sin x) \). Тогда уравнение числителя принимает вид: \[ y^2 + y = 0 \]

2. Решим уравнение:
   \[ y(y + 1) = 0 \implies y = 0 \quad \text{или} \quad y = -1 \]

3. Вернемся к исходной переменной:

   • \( y = 0 \) дает:
     \[ \log_2 (\sin x) = 0 \implies \sin x = 2^0 = 1 \] \[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \]

   • \( y = -1 \) дает:
     \[ \log_2 (\sin x) = -1 \implies \sin x = 2^{-1} = \frac{1}{2} \] \[ \sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \]

4. Требование знаменателя:
   \( 2 \cos x - \sqrt{3} \neq 0 \implies \cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2} \)

   Отсюда: \[ x \neq \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \]

5. Решения уравнения:

   • \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \) (удовлетворяют)
   • \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \) (удовлетворяют)
   • Исключаем \( x = \frac{\pi}{6} \)

б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку \(\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi \right]\):

1. Рассмотрим решения:

   • \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \):
     Берем \( k = 0 \) (входит в заданный промежуток)

   • \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \):
     Берем \( k = 0 \) (входит в заданный промежуток)

2. Исключаем \( x = \frac{\pi}{6} \) (из условий знаменателя)

Итоговые решения на заданном промежутке:

\[ x = \frac{\pi}{2}, \, x = \frac{5\pi}{6} \]

Таким образом, на промежутке \(\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi \right]\) подходят решения \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{5\pi}{6} \).