Помоги решить

Чтобы решить данное уравнение, следуем пошагово. ### Задача 1 #### а) Решите уравнение: \[ \frac{\log_2^2 (\sin x) + \log_2 (\sin x)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0 \] ##### Решение: 1. **Рассмотрим числитель:** Обозначим \( y = \log_2 (\sin x) \). Тогда уравнение числителя принимает вид: \[ y^2 + y = 0 \] 2. **Решим уравнение:** \[ y(y + 1) = 0 \implies y = 0 \quad \text{или} \quad y = -1 \] 3. **Вернемся к исходной переменной:** - \( y = 0 \) дает: \[ \log_2 (\sin x) = 0 \implies \sin x = 2^0 = 1 \] \[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \] - \( y = -1 \) дает: \[ \log_2 (\sin x) = -1 \implies \sin x = 2^{-1} = \frac{1}{2} \] \[ \sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \] 4. **Требование знаменателя:** \( 2 \cos x - \sqrt{3} \neq 0 \implies \cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2} \) Отсюда: \[ x \neq \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \] 5. **Решения уравнения:** - \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \) (удовлетворяют) - \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), \( k \in \mathbb{Z} \) (удовлетворяют) - Исключаем \( x = \frac{\pi}{6} \) #### б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку \(\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi \right]\): 1. **Рассмотрим решения:** - \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \): Берем \( k = 0 \) (входит в заданный промежуток) - \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \): Берем \( k = 0 \) (входит в заданный промежуток) 2. **Исключаем \( x = \frac{\pi}{6} \)** (из условий знаменателя) ##### Итоговые решения на заданном промежутке: \[ x = \frac{\pi}{2}, \, x = \frac{5\pi}{6} \] Таким образом, на промежутке \(\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi \right]\) подходят решения \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{5\pi}{6} \).