помоги решить
Давайте разберем каждую часть задачи по порядку.
a) Решите уравнение
\[ \frac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2\cos x - \sqrt{3}} = 0 \]
Шаг 1: Найдите условие существования логарифмов.
Логарифм существует, если \(\sin x > 0\). Это значит, что \(x\) должен принадлежать интервалам, где синус положителен: \[ 0 < x < \pi \] (с учётом периодичности \(\sin x\), также по модулю \(2\pi\)).
Шаг 2: Найдите условие, чтобы знаменатель не был равен нулю.
\(2\cos x - \sqrt{3} \neq 0\) \[ 2\cos x \neq \sqrt{3} \] \[ \cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Значения \(x\), при которых \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\), это: \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] где \(k \in \mathbb{Z}\).
Шаг 3: Упростите числитель.
Обозначим \(y = \log_2(\sin x)\). Тогда уравнение в числителе переписывается в виде: \[ y^2 + y = 0 \]
Решим это квадратное уравнение: \[ y(y + 1) = 0 \]
Отсюда: \[ y = 0 \quad \text{или} \quad y = -1 \]
Шаг 4: Найдите \(\sin x\) для каждого случая.
Для \(y = 0\): \[ \log_2(\sin x) = 0 \] \[ \sin x = 2^0 = 1 \] Это значит: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \]
Для \(y = -1\): \[ \log_2(\sin x) = -1 \] \[ \sin x = 2^{-1} = \frac{1}{2} \] Это значит: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \]
б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\).
Решения для \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} \]
Решения для \(\sin x = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{5\pi}{6} \quad \text{и} \quad x = \frac{13\pi}{6} \]
Проверим условие существования решения для знаменателя: \[ x \neq \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \]
Таким образом, в нужном интервале: \[ x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \]
Исключаем корни, которые делают знаменатель равным нулю. В итоге остаются: \[ x = \frac{\pi}{2}, \frac{13\pi}{6} \]
Ответ: \[ x = \frac{\pi}{2}, \frac{13\pi}{6} \]
