Помоги решить

Чтобы решить данное задание, разберем его по частям. ### Часть а) Уравнение: \[ \frac{\log_2^2(\sin x) + \log_{\frac{3}{2}}(\sin x)}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0 \] Это дробное уравнение равняется нулю, когда числитель равен нулю: \[ \log_2^2(\sin x) + \log_{\frac{3}{2}}(\sin x) = 0 \] Обозначим \( y = \log_2(\sin x) \). Таким образом: \[ y^2 + \frac{\log_2(\sin x)}{\log_2 \left(\frac{3}{2}\right)} = 0 \] Преобразуйте выражение \( \log_{\frac{3}{2}}(\sin x) = \frac{\log_2(\sin x)}{\log_2 \left(\frac{3}{2}\right)} \), и уравнение станет: \[ y^2 + \frac{y}{\log_2 \left(\frac{3}{2}\right)} = 0 \] Мы можем вынести \( y \) за скобки: \[ y \left( y + \frac{1}{\log_2 \left(\frac{3}{2}\right)} \right) = 0 \] Отсюда следует два решения: 1. \( y = 0 \) 2. \( y = -\frac{1}{\log_2 \left(\frac{3}{2}\right)} \) **1.** Если \( y = 0 \), то \(\log_2(\sin x) = 0\). Значит, \(\sin x = 1\), и \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). **2.** Если \(y = -\frac{1}{\log_2 \left(\frac{3}{2}\right)}\), то: \[ \log_2(\sin x) = -\frac{1}{\log_2 \left(\frac{3}{2}\right)} \] \[ \sin x = 2^{-\frac{1}{\log_2 \left(\frac{3}{2}\right)}} \] Теперь задача решена для числителя. Проверим знаменатель для избегания \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\). ### Часть б) Найдём корни в промежутке \(\left[ \frac{\pi}{2}, 2\pi \right]\). **1.** \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} \] **2.** Для \(\sin x = 2^{-\frac{1}{\log_2 \left(\frac{3}{2}\right)}}\), найдем приближенное значение \(\sin x\) с помощью логарифма: \[ 2^{\log_2 \left(\frac{3}{2}\right)} \approx 1.5 \Rightarrow 2^{-\frac{1}{\log_2 \left(\frac{3}{2}\right)}} \approx \frac{2}{3} \] Решения уравнения \(\sin x = \frac{2}{3}\) в интервале \(\left[ \frac{\pi}{2}, 2\pi \right]\) находятся в точках \(x \approx \arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\) и \(x \approx \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\). Помним, что \(\cos x \neq \frac{\sqrt{3}}{2}\) (иначе знаменатель обращается в ноль). ### Итоговые решения Корни в заданном промежутке: \( x = \frac{\pi}{2}, \) и приближённые значения \( x \approx \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \). Проверка с помощью \( \cos x \) исключает недопустимые значения. Это дает все необходимые значения корней на указанном интервале.