Помоги решить

Чтобы решить задачу, приступим к пунктам (a) и (б) по очереди. **(a) Решим уравнение:** \[ \frac{\log_2^2(\sin{x}) + \log_2(\sin{x})}{2 \cos{x} - \sqrt{3}} = 0 \] Первое, что мы видим, это дробь в левой части уравнения. Эта дробь будет равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. **1. Числитель равен нулю:** \[ \log_2^2(\sin{x}) + \log_2(\sin{x}) = 0 \] Это можно представить как квадратное уравнение относительно переменной \(y = \log_2(\sin{x})\): \[ y^2 + y = 0 \] Решим это уравнение: \[ y(y + 1) = 0 \] Отсюда: \[ y = 0 \quad \text{или} \quad y = -1 \] Восстанавливая переменную \(x\): 1. \(\log_2(\sin{x}) = 0 \Rightarrow \sin{x} = 2^0 = 1\) 2. \(\log_2(\sin{x}) = -1 \Rightarrow \sin{x} = 2^{-1} = \frac{1}{2}\) **2. Знаменатель не равен нулю:** \[ 2 \cos{x} - \sqrt{3} \neq 0 \Rightarrow \cos{x} \neq \frac{\sqrt{3}}{2} \] **Найдем \(x\):** - \(\sin{x} = 1\) означает \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\). - \(\sin{x} = \frac{1}{2}\) означает \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Проверим условие \(\cos{x} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}\) для этих \(x\). Поскольку \(\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), необходимо исключить \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\). **(б) Найдем все корни на промежутке \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\):** 1. \(\sin{x} = 1:\) \[x = \frac{\pi}{2}\] 2. \(\sin{x} = \frac{1}{2}:\) \[x = \frac{5\pi}{6}\] **Проверяем значения на промежутке:** - \(\frac{\pi}{2}\) — входит в промежуток и удовлетворяет условию \(\cos{x} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}\). - \(\frac{5\pi}{6}\) — также входит и удовлетворяет условию. Таким образом, корни уравнения на заданном промежутке: \(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\).