п
Для решения задачи рассмотрим каждую из её частей. Нам дано уравнение:
\[ \frac{\log_2^2(\sin{x}) + \log_2(\sin{x})}{2 \cos{x} - \sqrt{3}} = 0 \]
а) Решение уравнения:
Найдем числитель:
Обозначим \( y = \log_2(\sin{x}) \). Тогда числитель принимает вид: \[ y^2 + y = 0 \]
Решим квадратное уравнение: \[ y(y + 1) = 0 \]
Отсюда \( y = 0 \) или \( y = -1 \).
Случай 1: \( y = 0 \) \[ \log_2(\sin{x}) = 0 \] \[ \sin{x} = 2^0 = 1 \]
\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \]
Случай 2: \( y = -1 \) \[ \log_2(\sin{x}) = -1 \] \[ \sin{x} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \]
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \]
Найдем значение \( 2\cos{x} - \sqrt{3} \):
Так как дробь равна 0, знаменатель не должен равняться 0:
\[ 2\cos{x} - \sqrt{3} \neq 0 \] \[ 2\cos{x} \neq \sqrt{3} \] \[ \cos{x} \neq \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ x \neq \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \]
б) Найдем все корни на промежутке \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\):
Из \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) на этом промежутке у нас только: \[ x = \frac{\pi}{2} \]
Из \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), удаляя те, где \(\cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ x = \frac{5\pi}{6}, \quad x = \frac{13\pi}{6} \,(\text{но это больше } 2\pi) \]
Таким образом, корни на промежутке \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\) это:
\[ x = \frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{5\pi}{6} \]
