Дано: ( 13\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha = 11 )
Мы знаем, что ( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 ) (идентичность Пифагора).
Мы можем переписать уравнение так:
( 13\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha = 11 )
( 13\sin^2\alpha + 5(1-\sin^2\alpha) = 11 ) (заменяем ( \cos^2\alpha ) на ( 1 - \sin^2\alpha ))
( 13\sin^2\alpha + 5 - 5\sin^2\alpha = 11 )
( 8\sin^2\alpha = 6 )
( \sin^2\alpha = \frac{6}{8} )
( \sin^2\alpha = \frac{3}{4} )
( \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} )
( \sin\alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} ) (так как синус в первой и во второй четверти положителен)
Мы должны найти значение ( \tan^2\alpha ). Пользуясь определением тангенса как отношения синуса к косинусу: ( \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} ), и зная, что ( \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} ) и ( \cos\alpha = \frac{1}{2} ) (косинус в первой четверти положителен), получаем:
( \tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} )
Теперь квадрат тангенса:
( \tan^2\alpha = (\sqrt{3})^2 = 3 )
Итак, искомое значение: ( \tan^2\alpha = 3 )
