реши
Для решения данной задачи разберем все пункты последовательно:
1. Найти функцию, обратную к данной
Исходная функция: \[ y = 3x + 4 \]
Чтобы найти обратную функцию, выполните следующие шаги:
Замените \( y \) на \( x \) и \( x \) на \( y \): \[ x = 3y + 4 \]
Выразите \( y \) через \( x \): \[ x - 4 = 3y \]
Разделите обе стороны на 3: \[ y = \frac{x - 4}{3} \]
Итак, обратная функция: \[ y = \frac{x - 4}{3} \]
2. Являются ли функции взаимно обратными
Исходные функции:
- \( y = 2x + 5 \)
- \( y = \frac{x - 5}{2} \)
Чтобы проверить взаимную обратимость, подставим вторую функцию в первую:
Подставим вторую функцию в первую: \[ y = 2\left(\frac{x - 5}{2}\right) + 5 = x - 5 + 5 = x \]
Подставим первую функцию во вторую: \[ y = \frac{(2x + 5) - 5}{2} = \frac{2x}{2} = x \]
Обе подстановки приводят к \( y = x \), следовательно, функции являются взаимно обратными.
3. Равносильны ли следующие уравнения
а)
Уравнение: \[ 3x - 7 = 5x + 5 \]
Сначала решим его: \[ 3x - 5x = 5 + 7 \\ -2x = 12 \\ x = -6 \]
Проверка: Подставим обратно в уравнение \( 3(-6) - 7 = 5(-6) + 5 \):
\[ -18 - 7 = -30 + 5 \Rightarrow -25 = -25 \]
Уравнение верно. Теперь проверим второе уравнение: \[ 2x + 12 = 0 \]
Решаем: \[ 2x = -12 \\ x = -6 \]
Так как \( x = -6 \) является корнем обоих уравнений, мы можем считать их равносильными по отношению к найденному решению.
4. Равносильны ли следующие неравенства
а)
Неравенство: \[ 2(x - 1) < x + 1 \]
Решаем: \[ 2x - 2 < x + 1 \\ 2x - x < 1 + 2 \\ x < 3 \]
б)
Неравенство: \[ (x - 1)(x + 1) \leq 0 \]
Произведение двух множителей меньше либо равно нулю, когда они имеют противоположные знаки или один из них равен нулю.
Произведение будет нулем в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
Решениями неравенства являются промежутки между этими точками: \[ -1 \leq x \leq 1 \]
Таким образом, неравенства неравносильны, так как у них разные множества решений.
Эти шаги обеспечивают понимание, основанное на решении каждой из частей задачи.
