Стрелок в тире стреляет по мишени. известно, что он попадает в цель с вероятностью 1/3 при каждом отдельном выстреле. всего производится семь выстрелов. какова вероятность попасть…

Цель: Понять.

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться биномиальным распределением, так как у нас есть серия независимых испытаний (выстрелы), где вероятность успеха (попадания в цель) остается постоянной.

Для нашей задачи мы можем использовать формулу биномиального распределения:

\[ P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \(P(X=k)\) - вероятность того, что событие произойдет k раз
• \(n\) - количество испытаний (выстрелов)
• \(k\) - количество успехов (попаданий в цель)
• \(p\) - вероятность успеха (попадания в цель)
• \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) - число сочетаний из n по k

В данной задаче:

• \(n = 7\) (всего выстрелов)
• \(k = 3\) (количество раз, когда нужно попасть в цель)
• \(p = \frac{1}{3}\) (вероятность попадания в цель)

Теперь подставим значения в формулу:

\[ P(X=3) = \binom{7}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \]

\[ P(X=3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} \cdot \left(\frac{1}{27}\right) \cdot \left(\frac{8}{27}\right) \]

\[ P(X=3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{8}{27^2} \]

\[ P(X=3) = 35 \cdot \frac{8}{27^2} \]

\[ P(X=3) \approx 0.127 \]

Итак, вероятность попасть в цель ровно три раза из семи выстрелов составляет около 0.127.