Диагонали трапеции ABCD (AD || BC) пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и COD равны 54 см2 и 18 см3 соответственно. Найдите площадь трапеции.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами секущих и трапеций.

Пусть \( h_1 \) - высота трапеции, опущенная из вершины A, \(h_2\) - высота трапеции, опущенная из вершины B. По условию задачи треугольники AOD и COD имеют площади 54 см² и 18 см² соответственно.

Так как \(AD || BC\), треугольники AOD и BOC равновеликие, так же как и треугольники AOB и COD. Таким образом, мы можем записать:

\[ S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot AD \] \[ S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot h_2 \cdot BC \]

Также мы знаем, что \(S_{AOD} = 54 \, см^2\) и \(S_{COD} = 18 \, см^2\).

Теперь заметим, что площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников AOB, COD, AOC и BOD:

\[ S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{COD} + S_{AOC} + S_{BOD} \]

Но так как треугольники AOB и COD равновеликие, аналогично как и треугольники AOD и BOC, то:

\[ S_{ABCD} = 2 \cdot (S_{AOB} + S_{AOC}) \]

Так как \(S_{AOB} = S_{AOC}\), мы можем записать:

\[ S_{ABCD} = 4 \cdot S_{AOB} \]

Теперь подставим известные значения площадей треугольников AOD и COD:

\[ 54 + 18 = 4 \cdot S_{AOB} \]

\[ 72 = 4 \cdot S_{AOB} \]

\[ S_{AOB} = 18 \, см^2 \]

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна удвоенной площади треугольника AOB, то есть:

\[ S_{ABCD} = 2 \cdot S_{AOB} = 2 \cdot 18 = 36 \, см^2 \]

Итак, площадь трапеции ABCD равна 36 \(см^2\).