Диагонали трапеции ABCD (AD || BC) пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и COD равны 54 см2 и 18 см3 соответственно. Найдите площадь трапеции.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами секущих и трапеций. Пусть \( h_1 \) - высота трапеции, опущенная из вершины A, \(h_2\) - высота трапеции, опущенная из вершины B. По условию задачи треугольники AOD и COD имеют площади 54 см² и 18 см² соответственно. Так как \(AD || BC\), треугольники AOD и BOC равновеликие, так же как и треугольники AOB и COD. Таким образом, мы можем записать: \[ S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot AD \] \[ S_{COD} = \frac{1}{2} \cdot h_2 \cdot BC \] Также мы знаем, что \(S_{AOD} = 54 \, см^2\) и \(S_{COD} = 18 \, см^2\). Теперь заметим, что площадь трапеции ABCD равна сумме площадей треугольников AOB, COD, AOC и BOD: \[ S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{COD} + S_{AOC} + S_{BOD} \] Но так как треугольники AOB и COD равновеликие, аналогично как и треугольники AOD и BOC, то: \[ S_{ABCD} = 2 \cdot (S_{AOB} + S_{AOC}) \] Так как \(S_{AOB} = S_{AOC}\), мы можем записать: \[ S_{ABCD} = 4 \cdot S_{AOB} \] Теперь подставим известные значения площадей треугольников AOD и COD: \[ 54 + 18 = 4 \cdot S_{AOB} \] \[ 72 = 4 \cdot S_{AOB} \] \[ S_{AOB} = 18 \, см^2 \] Таким образом, площадь трапеции ABCD равна удвоенной площади треугольника AOB, то есть: \[ S_{ABCD} = 2 \cdot S_{AOB} = 2 \cdot 18 = 36 \, см^2 \] Итак, площадь трапеции ABCD равна 36 \(см^2\).