4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса АМ. Угол АМВ равен 69°. Найдите угол при основании этого треугольника

Решение:

1. Поскольку у нас равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\), то у нас два равных угла при основании \(AC\), обозначим их как \(\angle BAC = \angle ACB = x\).

2. Также, из условия мы знаем, что угол \(\angle AMB = 69^\circ\).

3. Теперь, по свойству биссектрисы в равнобедренном треугольнике, \(\angle BAM = \angle CAM = x\).

4. Посмотрим на треугольник \(ABM\), у него сумма углов равна \(180^\circ\), следовательно: \[ x + x + 69^\circ = 180^\circ \] \[ 2x + 69^\circ = 180^\circ \] \[ 2x = 111^\circ \] \[ x = \frac{111^\circ}{2} = 55.5^\circ \]

5. Таким образом, угол при основании треугольника \(ABC\), то есть углы \(\angle BAC\) и \(\angle ACB\), равен \(55.5^\circ\).