4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса АМ. Угол АМВ равен 69°. Найдите угол при основании этого треугольника

**Решение:** 1. Поскольку у нас равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, то у нас два равных угла при основании $AC$, обозначим их как $\angle BAC = \angle ACB = x$. 2. Также, из условия мы знаем, что угол $\angle AMB = 69^\circ$. 3. Теперь, по свойству биссектрисы в равнобедренном треугольнике, $\angle BAM = \angle CAM = x$. 4. Посмотрим на треугольник $ABM$, у него сумма углов равна $180^\circ$, следовательно: \[ x + x + 69^\circ = 180^\circ \] \[ 2x + 69^\circ = 180^\circ \] \[ 2x = 111^\circ \] \[ x = \frac{111^\circ}{2} = 55.5^\circ \] 5. Таким образом, угол при основании треугольника $ABC$, то есть углы $\angle BAC$ и $\angle ACB$, равен $55.5^\circ$.