найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=1-x² и y=x²-1
Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = 1 - x² и y = x² - 1, необходимо определить точки их пересечения и интегрировать площадь между ними по оси x.
- Определение точек пересечения:
Уравнения:
- y = 1 - x²
- y = x² - 1
Приравниваем их: 1 - x² = x² - 1
Переносим всё в одну часть уравнения: 2x² = 2 x² = 1 x = ±1
Точки пересечения: (-1, 0) и (1, 0).
- Нахождение площади:
Интегрируем площадь между кривыми по оси x от x = -1 до x = 1. Рассмотрим площадь в верхней половине фигуры, ограниченной y = 1 - x² сверху и y = x² - 1 снизу.
Площадь S = ∫[a, b] (верхнее уравнение - нижнее уравнение) dx
Где a = -1 и b = 1, как найдено выше.
S = ∫[-1, 1] (1 - x² - (x² - 1)) dx
S = ∫[-1, 1] (2 - 2x²) dx
S = [2x - (2/3)x³] |[-1, 1]
Теперь вычислим значение выражения в пределах от -1 до 1:
S = [2(1) - (2/3)(1)³] - [2(-1) - (2/3)(-1)³]
S = [2 - 2/3] - [-2 + 2/3]
S = 8/3
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1 - x² и y = x² - 1, равна 8/3 или приблизительно 2,67 единицы площади.
