Ответы
Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций \( y = 4x - 5 \) и \( y = \frac{5}{x-6} \), а также \( y = 3x + 8 \) и \( y = \frac{2}{x+1} \), нам нужно решить следующие системы уравнений.
Для первого случая:
Система уравнений:
\[ y = 4x - 5 \] \[ y = \frac{5}{x-6} \]
Приравняем правые части уравнений:
\[ 4x - 5 = \frac{5}{x-6} \]
Умножим обе части на \( x-6 \) для устранения дроби:
\[ (4x - 5)(x - 6) = 5 \]
Раскроем скобки:
\[ 4x^2 - 24x - 5x + 30 = 5 \]
\[ 4x^2 - 29x + 30 = 5 \]
Перенесем все в одну часть:
\[ 4x^2 - 29x + 25 = 0 \]
Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:
- \( a = 4 \), \( b = -29 \), \( c = 25 \).
\[ D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \times 4 \times 25 = 841 - 400 = 441 \]
Корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 \pm 21}{8} \]
\[ x_1 = \frac{50}{8} = \frac{25}{4} \] \[ x_2 = \frac{8}{8} = 1 \]
Подставим обратно, чтобы найти \( y \):
Для \( x_1 = \frac{25}{4} \):
\[ y = 4 \times \frac{25}{4} - 5 = 25 - 5 = 20 \]
Для \( x_2 = 1 \):
\[ y = 4 \times 1 - 5 = 4 - 5 = -1 \]
Итак, точки пересечения:
\(\left(\frac{25}{4}, 20\right)\) и \((1, -1)\).
Для второго случая:
Система уравнений:
\[ y = 3x + 8 \] \[ y = \frac{2}{x+1} \]
Приравняем правые части уравнений:
\[ 3x + 8 = \frac{2}{x+1} \]
Умножим обе части на \( x+1 \):
\[ (3x + 8)(x + 1) = 2 \]
Раскроем скобки:
\[ 3x^2 + 3x + 8x + 8 = 2 \]
\[ 3x^2 + 11x + 8 = 2 \]
Перенесем все в одну часть:
\[ 3x^2 + 11x + 6 = 0 \]
Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:
- \( a = 3 \), \( b = 11 \), \( c = 6 \).
\[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \times 3 \times 6 = 121 - 72 = 49 \]
Корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm 7}{6} \]
\[ x_1 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-18}{6} = -3 \]
Подставим обратно, чтобы найти \( y \):
Для \( x_1 = -\frac{2}{3} \):
\[ y = 3 \times -\frac{2}{3} + 8 = -2 + 8 = 6 \]
Для \( x_2 = -3 \):
\[ y = 3 \times -3 + 8 = -9 + 8 = -1 \]
Итак, точки пересечения:
\(\left(-\frac{2}{3}, 6\right)\) и \((-3, -1)\).
Ответ:
а) (1, -1), \(\left(\frac{25}{4}, 20\right)\);
б) \(\left(-\frac{2}{3}, 6\right)\), (-3, -1).
