Ответы

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций \( y = 4x - 5 \) и \( y = \frac{5}{x-6} \), а также \( y = 3x + 8 \) и \( y = \frac{2}{x+1} \), нам нужно решить следующие системы уравнений. ### Для первого случая: 1. **Система уравнений:** \[ y = 4x - 5 \] \[ y = \frac{5}{x-6} \] 2. **Приравняем правые части уравнений:** \[ 4x - 5 = \frac{5}{x-6} \] 3. **Умножим обе части на \( x-6 \) для устранения дроби:** \[ (4x - 5)(x - 6) = 5 \] 4. **Раскроем скобки:** \[ 4x^2 - 24x - 5x + 30 = 5 \] \[ 4x^2 - 29x + 30 = 5 \] 5. **Перенесем все в одну часть:** \[ 4x^2 - 29x + 25 = 0 \] 6. **Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:** - \( a = 4 \), \( b = -29 \), \( c = 25 \). \[ D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \times 4 \times 25 = 841 - 400 = 441 \] 7. **Корни уравнения:** \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 \pm 21}{8} \] \[ x_1 = \frac{50}{8} = \frac{25}{4} \] \[ x_2 = \frac{8}{8} = 1 \] 8. **Подставим обратно, чтобы найти \( y \):** - Для \( x_1 = \frac{25}{4} \): \[ y = 4 \times \frac{25}{4} - 5 = 25 - 5 = 20 \] - Для \( x_2 = 1 \): \[ y = 4 \times 1 - 5 = 4 - 5 = -1 \] 9. **Итак, точки пересечения:** \(\left(\frac{25}{4}, 20\right)\) и \((1, -1)\). ### Для второго случая: 1. **Система уравнений:** \[ y = 3x + 8 \] \[ y = \frac{2}{x+1} \] 2. **Приравняем правые части уравнений:** \[ 3x + 8 = \frac{2}{x+1} \] 3. **Умножим обе части на \( x+1 \):** \[ (3x + 8)(x + 1) = 2 \] 4. **Раскроем скобки:** \[ 3x^2 + 3x + 8x + 8 = 2 \] \[ 3x^2 + 11x + 8 = 2 \] 5. **Перенесем все в одну часть:** \[ 3x^2 + 11x + 6 = 0 \] 6. **Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:** - \( a = 3 \), \( b = 11 \), \( c = 6 \). \[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \times 3 \times 6 = 121 - 72 = 49 \] 7. **Корни уравнения:** \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm 7}{6} \] \[ x_1 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-18}{6} = -3 \] 8. **Подставим обратно, чтобы найти \( y \):** - Для \( x_1 = -\frac{2}{3} \): \[ y = 3 \times -\frac{2}{3} + 8 = -2 + 8 = 6 \] - Для \( x_2 = -3 \): \[ y = 3 \times -3 + 8 = -9 + 8 = -1 \] 9. **Итак, точки пересечения:** \(\left(-\frac{2}{3}, 6\right)\) и \((-3, -1)\). ### Ответ: а) (1, -1), \(\left(\frac{25}{4}, 20\right)\); б) \(\left(-\frac{2}{3}, 6\right)\), (-3, -1).