Решение

Давайте разберем обе части задачи. ### a) Сумма дробей равна их произведению Даны дроби: \[ \frac{z - 2}{z + 1} \quad \text{и} \quad \frac{z - 3}{z - 1} \] Их сумма: \[ \frac{z - 2}{z + 1} + \frac{z - 3}{z - 1} = \frac{(z - 2)(z - 1) + (z - 3)(z + 1)}{(z + 1)(z - 1)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ (z - 2)(z - 1) = z^2 - z - 2z + 2 = z^2 - 3z + 2 \] \[ (z - 3)(z + 1) = z^2 + z - 3z - 3 = z^2 - 2z - 3 \] Теперь сложим числители: \[ z^2 - 3z + 2 + z^2 - 2z - 3 = 2z^2 - 5z - 1 \] Получаем: \[ \frac{2z^2 - 5z - 1}{(z + 1)(z - 1)} \] Произведение дробей: \[ \frac{(z - 2)(z - 3)}{(z + 1)(z - 1)} \] Раскроем скобки: \[ (z - 2)(z - 3) = z^2 - 3z - 2z + 6 = z^2 - 5z + 6 \] Значит, произведение дробей: \[ \frac{z^2 - 5z + 6}{(z + 1)(z - 1)} \] Приравниваем сумму к произведению: \[ 2z^2 - 5z - 1 = z^2 - 5z + 6 \] Решим уравнение: \[ 2z^2 - 5z - 1 = z^2 - 5z + 6 \] \[ 2z^2 - z^2 - 5z + 5z - 1 - 6 = 0 \] \[ z^2 - 7 = 0 \] \[ z^2 = 7 \] \[ z = \pm \sqrt{7} \] Итак, \(z = \sqrt{7}\) или \(z = -\sqrt{7}\). ### б) Разность дробей равна их произведению Даны дроби: \[ \frac{3z - 1}{z + 1} \quad \text{и} \quad \frac{z - 1}{3z + 1} \] Их разность: \[ \frac{3z - 1}{z + 1} - \frac{z - 1}{3z + 1} = \frac{(3z - 1)(3z + 1) - (z - 1)(z + 1)}{(z + 1)(3z + 1)} \] Раскроем скобки в числителе: \[ (3z - 1)(3z + 1) = 9z^2 - 1 \] \[ (z - 1)(z + 1) = z^2 - 1 \] Теперь: \[ 9z^2 - 1 - (z^2 - 1) = 9z^2 - 1 - z^2 + 1 = 8z^2 \] Произведение дробей: \[ \frac{(3z - 1)(z - 1)}{(z + 1)(3z + 1)} \] Раскроем скобки: \[ (3z - 1)(z - 1) = 3z^2 - 3z - z + 1 = 3z^2 - 4z + 1 \] Приравниваем разность к произведению: \[ \frac{8z^2}{(z + 1)(3z + 1)} = \frac{3z^2 - 4z + 1}{(z + 1)(3z + 1)} \] Значит: \[ 8z^2 = 3z^2 - 4z + 1 \] \[ 8z^2 - 3z^2 + 4z - 1 = 0 \] \[ 5z^2 + 4z - 1 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 5 \times (-1) = 16 + 20 = 36 \] Корни уравнения: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 6}{10} \] Получаем: \[ z_1 = \frac{2}{10} = 0.2, \quad z_2 = \frac{-10}{10} = -1 \] Решения для значения \(z\): \(z = 0.2\) и \(z = -1\).