Решение
Давайте разберем обе части задачи.
a) Сумма дробей равна их произведению
Даны дроби:
\[ \frac{z - 2}{z + 1} \quad \text{и} \quad \frac{z - 3}{z - 1} \]
Их сумма:
\[ \frac{z - 2}{z + 1} + \frac{z - 3}{z - 1} = \frac{(z - 2)(z - 1) + (z - 3)(z + 1)}{(z + 1)(z - 1)} \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ (z - 2)(z - 1) = z^2 - z - 2z + 2 = z^2 - 3z + 2 \]
\[ (z - 3)(z + 1) = z^2 + z - 3z - 3 = z^2 - 2z - 3 \]
Теперь сложим числители:
\[ z^2 - 3z + 2 + z^2 - 2z - 3 = 2z^2 - 5z - 1 \]
Получаем:
\[ \frac{2z^2 - 5z - 1}{(z + 1)(z - 1)} \]
Произведение дробей:
\[ \frac{(z - 2)(z - 3)}{(z + 1)(z - 1)} \]
Раскроем скобки:
\[ (z - 2)(z - 3) = z^2 - 3z - 2z + 6 = z^2 - 5z + 6 \]
Значит, произведение дробей:
\[ \frac{z^2 - 5z + 6}{(z + 1)(z - 1)} \]
Приравниваем сумму к произведению:
\[ 2z^2 - 5z - 1 = z^2 - 5z + 6 \]
Решим уравнение:
\[ 2z^2 - 5z - 1 = z^2 - 5z + 6 \]
\[ 2z^2 - z^2 - 5z + 5z - 1 - 6 = 0 \]
\[ z^2 - 7 = 0 \]
\[ z^2 = 7 \]
\[ z = \pm \sqrt{7} \]
Итак, \(z = \sqrt{7}\) или \(z = -\sqrt{7}\).
б) Разность дробей равна их произведению
Даны дроби:
\[ \frac{3z - 1}{z + 1} \quad \text{и} \quad \frac{z - 1}{3z + 1} \]
Их разность:
\[ \frac{3z - 1}{z + 1} - \frac{z - 1}{3z + 1} = \frac{(3z - 1)(3z + 1) - (z - 1)(z + 1)}{(z + 1)(3z + 1)} \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ (3z - 1)(3z + 1) = 9z^2 - 1 \]
\[ (z - 1)(z + 1) = z^2 - 1 \]
Теперь:
\[ 9z^2 - 1 - (z^2 - 1) = 9z^2 - 1 - z^2 + 1 = 8z^2 \]
Произведение дробей:
\[ \frac{(3z - 1)(z - 1)}{(z + 1)(3z + 1)} \]
Раскроем скобки:
\[ (3z - 1)(z - 1) = 3z^2 - 3z - z + 1 = 3z^2 - 4z + 1 \]
Приравниваем разность к произведению:
\[ \frac{8z^2}{(z + 1)(3z + 1)} = \frac{3z^2 - 4z + 1}{(z + 1)(3z + 1)} \]
Значит:
\[ 8z^2 = 3z^2 - 4z + 1 \]
\[ 8z^2 - 3z^2 + 4z - 1 = 0 \]
\[ 5z^2 + 4z - 1 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение:
Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 5 \times (-1) = 16 + 20 = 36 \]
Корни уравнения:
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 6}{10} \]
Получаем:
\[ z_1 = \frac{2}{10} = 0.2, \quad z_2 = \frac{-10}{10} = -1 \]
Решения для значения \(z\): \(z = 0.2\) и \(z = -1\).
