Две девочки массами 50 и 60 кг едут друг за другом на роликовых коньках со скоростями 3 и 4 м/с соответственно. С какой скоростью будут двигаться девочки, когда первая догонит…
Две девочки массами 50 и 60 кг едут друг за другом на роликовых коньках со скоростями 3 и 4 м/с соответственно. С какой скоростью будут двигаться девочки, когда первая догонит вторую и при встрече они сцепятся?
Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и законы сохранения энергии.
- Решение с использованием закона сохранения импульса:
Пусть \(V_1\) и \(V_2\) — скорости девочек с массами \(m_1 = 50 \, \text{кг}\) и \(m_2 = 60 \, \text{кг}\) соответственно, после того, как они сцепились и двигаются вместе после того, как первая догонит вторую.
Согласно закону сохранения импульса, импульс системы до соударения равен импульсу системы после соударения.
\[ m_1 \cdot V_1 + m_2 \cdot V_2 = (m_1 + m_2) \cdot V \]
где \(V\) — искомая скорость движения девочек после соударения.
После догоняния и сцепления импульсы обеих девочек складываются, и их общая масса становится равной суммарной массе двух девочек.
\[ 50 \, \text{кг} \cdot 3 \, \text{м/с} + 60 \, \text{кг} \cdot 4 \, \text{м/с} = (50 \, \text{кг} + 60 \, \text{кг}) \cdot V \]
\[ 150 \, \text{кг}\cdot\text{м/с} + 240 \, \text{кг}\cdot\text{м/с} = 110 \, \text{кг} \cdot V \]
\[ 390 \, \text{кг}\cdot\text{м/с} = 110 \, \text{кг} \cdot V \]
\[ V = \frac{390 \, \text{кг}\cdot\text{м/с}}{110 \, \text{кг}} = 3.54 \, \text{м/с} \]
Таким образом, после сцепления девочки будут двигаться с скоростью \(3.54 \, \text{м/с}\) вместе.
- Решение с использованием закона сохранения энергии:
При соударении между собой у девочек сохраняется механическая энергия системы.
Изначально кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий каждой девочки:
\[ \frac{1}{2} m_1 V_1^2 + \frac{1}{2} m_2 V_2^2 \]
После соединения девочек их общая кинетическая энергия равна сумме движения одной массой \(m = m_1 + m_2\) со скоростью \(V\):
\[ \frac{1}{2} m V^2 \]
Учитывая, что механическая энергия сохраняется, можно записать:
\[ \frac{1}{2} m_1 V_1^2 + \frac{1}{2} m_2 V_2^2 = \frac{1}{2} m V^2 \]
Подставляем заданные значения:
\[ \frac{1}{2}\cdot50\cdot3^2 + \frac{1}{2}\cdot60\cdot4^2 = \frac{1}{2}\cdot(50+60)\cdot V^2 \]
\[ 225 + 480 = 55\cdot V^2 \]
\[ 705 = 55\cdot V^2 \]
\[ V^2 = \frac{705}{55} \]
\[ V = \sqrt{\frac{705}{55}} \]
\[ V \approx \sqrt{12.818} \approx 3.58 \, \text{м/с} \]
Таким образом, обе методы дают примерно одинаковый результат: девочки будут двигаться со скоростью около \(3.54 \, \text{м/с}\) после того, как первая догонит вторую и они сцепятся.
