Решить

Определим угол \( \angle ABC \) с использованием следующих свойств.

Дано:

• Центр окружности лежит на стороне \( AB \).
• Угол \( \angle BAC = 9^\circ \).

Задача:

• Найти угол \( \angle ABC \).

Решение:

1. Свойство вписанного угла: Вписанный угол, опирающийся на хорду, в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же хорду.

2. Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \):

   • \( AC \) — это хорда окружности.
   • \( O \) — центр окружности, лежащий на \( AB \).

3. Построим центральный угол:

   • \( \angle AOC \) — это центральный угол, опирающийся на хорду \( AC \).

4. Соотношения углов:

   • Удельный угол \( \angle AOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 9^\circ = 18^\circ \).

5. Свойства треугольника в окружности:

   • Обозначим углы: \(\angle BAC = 9^\circ\), \(\angle ACB = x\), \(\angle ABC = y\).

6. Сумма углов в треугольнике: \[ \angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ \] \[ 9^\circ + x + y = 180^\circ \] \[ x + y = 171^\circ \]

7. По теореме о вписанных углах:

   • \( \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 18^\circ = 9^\circ \).

8. Подставим значение \( \angle ACB: \) \[ 9^\circ + y = 171^\circ \] \[ y = 171^\circ - 9^\circ = 162^\circ \]

Ответ:

Угол \( \angle ABC = 162^\circ \).