В равнобедренную трапецию вписана окружность. Вычисли боковую сторону трапеции АВ и радиус окружности, вписанной в трапецию, если её основания равны 4 и 8.

Чтобы решить задачу, давайте разберём шаги решения:

1. Обозначим элементы трапеции:

   • \( AB = x \) — боковая сторона (также равна \( CD \), так как трапеция равнобедренная).
   • Основания \( AD = 8 \) и \( BC = 4 \).

2. Свойства трапеции с вписанной окружностью:

   • Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон.

3. Запишем уравнение: \[ AD + BC = AB + CD \] Подставим известные значения: \[ 8 + 4 = x + x \] \[ 12 = 2x \] \[ x = 6 \]

   Таким образом, боковая сторона \( AB = 6 \).

4. Найдем радиус вписанной окружности:

   • Формула для радиуса окружности, вписанной в трапецию \( r \), зависит от полупериметра (с полупериметр — это половина суммы всех сторон) и площади. Однако, применительно к равнобедренной трапеции, можно воспользоваться более простой зависимостью: \( r = \frac{a - b}{2} \), где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, и длины боковых сторон известны.

   \[ r = \frac{8 - 4}{2} = 2 \]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 2.

Итак, боковая сторона трапеции \( AB = 6 \), а радиус вписанной окружности \( r = 2 \).