В равнобедренную трапецию вписана окружность. Вычисли боковую сторону трапеции АВ и радиус окружности, вписанной в трапецию, если её основания равны 4 и 8.

Чтобы решить задачу, давайте разберём шаги решения: 1. **Обозначим элементы трапеции:** - \( AB = x \) — боковая сторона (также равна \( CD \), так как трапеция равнобедренная). - Основания \( AD = 8 \) и \( BC = 4 \). 2. **Свойства трапеции с вписанной окружностью:** - Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. 3. **Запишем уравнение:** \[ AD + BC = AB + CD \] Подставим известные значения: \[ 8 + 4 = x + x \] \[ 12 = 2x \] \[ x = 6 \] Таким образом, боковая сторона \( AB = 6 \). 4. **Найдем радиус вписанной окружности:** - Формула для радиуса окружности, вписанной в трапецию \( r \), зависит от полупериметра (с полупериметр — это половина суммы всех сторон) и площади. Однако, применительно к равнобедренной трапеции, можно воспользоваться более простой зависимостью: \( r = \frac{a - b}{2} \), где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, и длины боковых сторон известны. \[ r = \frac{8 - 4}{2} = 2 \] Таким образом, радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 2. Итак, боковая сторона трапеции \( AB = 6 \), а радиус вписанной окружности \( r = 2 \).