На доске написано 𝑛 чисел:1, 2, ... n. За одну операцию можно выбрать два разных числа a и b таких, что a+b чётно, стереть их и написать (a+b)÷2. Сколько таких натуральных 𝑛 из…

Данная задача относится к комбинаторике и требует некоторых размышлений о составе четных и нечетных чисел.

Пусть для некоторого числа n из диапазона [2, 100] выполняется условие: можно оставить на доске единственное число. Это означает, что после нескольких операций сумма всех чисел на доске должна быть нечётной, так как в конечном итоге останется только одно число.

Сумма всех чисел от 1 до n равна n*(n+1)/2. Для выяснения чётности этой суммы нам важно понять, какова чётность n и n+1.

1. Если n чётное, то n+1 будет нечётным.
2. Если n нечётное, то n+1 будет чётным.

Теперь рассмотрим общий случай:

• Если n чётное, то сумма n*(n+1)/2 будет чётной (так как одно из n или n+1 чётное).
• Если n нечетное, то сумма n*(n+1)/2 будет нечётной (так как ни n, ни n+1 нечётные).

Следовательно, для того чтобы оставить на доске единственное число, сумма чисел должна быть нечётной. Это возможно только при нечетном n.

Таким образом, количество возможных натуральных n в диапазоне [2, 100], при которых остаётся на доске единственное число, равно количеству нечётных чисел в этом диапазоне. В этом диапазоне чётное количество чисел, а значит, количество нечётных чисел будет равно половине от общего числа в этом диапазоне.

Количество нечётных чисел на интервале [2, 100] равно 50.

Ответ: 50.