В окружность с центром O O вписан четырёхугольник M N Q J MNQJ . Определи градусную меру угла N Q J NQJ , если ∠ M N J = 57 ° ∠MNJ=57° , ∠ N Q M = 42 ° ∠NQM=42° .

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством углов, образованных хордами, касательными и радиусами окружности.

Дано: ∠MNJ = 57° ∠NQM = 42°

Посмотрим на рисунок и введем новое обозначение для угла ∠NQJ:

Угол ∠NQJ = α

Теперь посмотрим на то, какие углы мы можем найти, используя свойства окружности:

1. Центральный угол ∠MNJ, опирающийся на хорду MJ, равен углу вписанной дуги MN. ∠MNJ = 1/2 * Мера дуги MN ∠MNJ = 1/2 * 2α = α

2. Центральный угол ∠NQM, опирающийся на хорду QM, равен углу вписанной дуги QN. ∠NQM = 1/2 * Мера дуги QN ∠NQM = 1/2 * 2β = β

Используем свойство углов на окружности, что угол, стягиваемый дугой, равен половине центрального угла:

∠NQJ = 1/2 * Мера дуги NJ = α + β

Теперь можем выразить каждый из углов через данные в условии: α = ∠MNJ = 57° β = ∠NQM = 42°

∠NQJ = α + β = 57° + 42° = 99°

Итак, градусная мера угла NQJ равна 99°.