Решение:
Дано:
- Вершины четырехугольника $ABCD$ лежат на окружности.
- Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$.
- $\angle BAC = 36^\circ$.
- $\angle CAD + \angle ADC = 138^\circ$.
Из условия задачи мы видим, что у нас есть два треугольника, в которых углы равны:
- $\angle BAC = \angle BZC$ (углы, опирающиеся на одной дуге $BC$).
- $\angle ACD = \angle AMD$ (углы, опирающиеся на одной дуге $AC$).
Также можем заметить, что $\angle CAD + \angle ADC = 138^\circ$ является разностью двух углов внутри треугольника $ACD$, значит $\angle CAD = 138^\circ - \angle ADC$.
Теперь можем рассмотреть треугольники $BMC$ и $AMD$. У нас есть:
- $\angle BZC = \angle BAC$ (соответствующие углы);
- $\angle ACD = \angle AMD$ (соответствующие углы);
- $\angle CAD = 138^\circ - \angle ADC$.
Из этих равенств следует, что $\triangle BMC \sim \triangle AMD$ по углам.
Таким образом, у нас имеется соответствие углов между треугольниками $BMC$ и $AMD$. Следовательно, $\angle BMD = \angle AMB$.
Теперь мы знаем, что у треугольника $AMB$ сумма всех углов равна $180^\circ$, значит:
$\angle AMB + \angle BMA + \angle BAM = 180^\circ$
$\angle AMB + \angle BMA + (180^\circ - \angle AMB - \angle BMD) = 180^\circ$
$\angle AMB + \angle BMA + 180^\circ - \angle AMB - \angle AMB = 180^\circ$
$\angle BMA + 180^\circ - 2\angle AMB = 180^\circ$
$\angle BMA = 2\angle AMB$
Из этого следует, что $\angle BMA = 2\angle AMB$. Значит, $\angle BMA = 2\cdot\frac{1}{2}\angle BMD = \angle BMD$.
Таким образом, $\angle BMD = \angle BMA$.
Ответ: $\angle BMD = \angle BMA$.
