406. Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, диагонали пересекаются в точке М, ZBAC = 36°, ZCAD + ZADC = 138°. Найдите ZBMC

Решение:

Дано:

• Вершины четырехугольника \(ABCD\) лежат на окружности.
• Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\).
• \(\angle BAC = 36^\circ\).
• \(\angle CAD + \angle ADC = 138^\circ\).

Из условия задачи мы видим, что у нас есть два треугольника, в которых углы равны:

1. \(\angle BAC = \angle BZC\) (углы, опирающиеся на одной дуге \(BC\)).
2. \(\angle ACD = \angle AMD\) (углы, опирающиеся на одной дуге \(AC\)).

Также можем заметить, что \(\angle CAD + \angle ADC = 138^\circ\) является разностью двух углов внутри треугольника \(ACD\), значит \(\angle CAD = 138^\circ - \angle ADC\).

Теперь можем рассмотреть треугольники \(BMC\) и \(AMD\). У нас есть:

• \(\angle BZC = \angle BAC\) (соответствующие углы);
• \(\angle ACD = \angle AMD\) (соответствующие углы);
• \(\angle CAD = 138^\circ - \angle ADC\).

Из этих равенств следует, что \(\triangle BMC \sim \triangle AMD\) по углам.

Таким образом, у нас имеется соответствие углов между треугольниками \(BMC\) и \(AMD\). Следовательно, \(\angle BMD = \angle AMB\).

Теперь мы знаем, что у треугольника \(AMB\) сумма всех углов равна \(180^\circ\), значит:

\(\angle AMB + \angle BMA + \angle BAM = 180^\circ\)

\(\angle AMB + \angle BMA + (180^\circ - \angle AMB - \angle BMD) = 180^\circ\)

\(\angle AMB + \angle BMA + 180^\circ - \angle AMB - \angle AMB = 180^\circ\)

\(\angle BMA + 180^\circ - 2\angle AMB = 180^\circ\)

\(\angle BMA = 2\angle AMB\)

Из этого следует, что \(\angle BMA = 2\angle AMB\). Значит, \(\angle BMA = 2\cdot\frac{1}{2}\angle BMD = \angle BMD\).

Таким образом, \(\angle BMD = \angle BMA\).

Ответ: \(\angle BMD = \angle BMA\).