3. Решите треугольник АВС, если АВ = √3 см, АС = 2√3 см, ∠A = 60°.
Цель: Понять
Решение: Для решения треугольника \(ABC\) с данными сторонами и углом, мы можем использовать законы синусов и косинусов.
Начнем с найденя стороны \(BC\), которую обозначим как \(x\).
Используем закон косинусов для нахождения стороны \(x\):
\[ BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(\angle A) \]Подставляем известные значения:
\[ x^2 = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ) \]Упрощаем:
\[ x^2 = 12 + 3 - 12 \cdot \cos(60^\circ) \]Поскольку \(\cos(60^\circ) = 0.5\), получаем:
\[ x^2 = 15 - 6 = 9 \] \[ x = 3 \]Таким образом, сторона \(BC = 3\) см.
Теперь мы можем приступить к нахождению углов треугольника. Для этого можно использовать закон синусов. Для угла \(\angle B\):
\[ \frac{\sin(\angle B)}{BC} = \frac{\sin(\angle A)}{AC} \]Подставляем известные значения:
\[ \frac{\sin(\angle B)}{3} = \frac{\sin(60^\circ)}{2\sqrt{3}} \]Решаем уравнение:
\[ \sin(\angle B) = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]Поскольку в первой и во второй четверти синус равен одному и тому же значению, с учетом угла \(60^\circ\), получаем:
\[ \angle B = 60^\circ \]Для нахождения угла \(\angle C\) воспользуемся тем же законом синусов:
\[ \frac{\sin(\angle C)}{BC} = \frac{\sin(\angle A)}{AB} \]Подставляем известные значения:
\[ \frac{\sin(\angle C)}{3} = \frac{\sin(60^\circ)}{\sqrt{3}} \]Решаем уравнение:
\[ \sin(\angle C) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]Рассуждаем аналогично предыдущему пункту:
\[ \angle C = 60^\circ \]
Итак, треугольник \(ABC\) является равносторонним треугольником со стороной \(BC = 3\) см и углами \(60^\circ\), \(60^\circ\) и \(60^\circ\).
