Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 20 °С. После установления теплового равновесия температура…
Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 20 °С. После установления теплового равновесия температура воды в чашке составила 80 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны с= 4200 Дж/ (кг . С). Потерями теплоты можно пренебречь. 1) найдите отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой. 2) Найдите отношение массы чая к массе воды. 3) Так как чай всё ещё был слишком горячим, Маша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Напишите полное решение этой задачи.
Цель: Понять
Решение:
- Отношение количества теплоты чая к количеству теплоты воды:
Из закона сохранения энергии известно, что сумма теплот, отданных и полученных равна нулю:
\[ q_{чая} + q_{воды} = 0 \]
Где
\[ q_{чая} = -q_{воды} \]
Теплота \(q\) определяется как \(q = mc\Delta T\), где \(m\) - масса в килограммах, \(c\) - удельная теплоемкость, а \(\Delta T\) - изменение температуры.
Из условия задачи известно, что температура чая изменилась на 20 °C (100 °C - 80 °C) и было добавлено одинаковое количество воды, поэтому можно записать:
\[ m_{чая}c\Delta T_{чая} = -m_{воды}c\Delta T_{воды} \]
Подставляя данную информацию, мы имеем:
\[ m_{чая}c(100 - 80) = -m_{воды}c(80 - 20) \]
\[ m_{чая} \cdot 20 = - m_{воды} \cdot 60 \]
\[ \frac {m_{чая}} {m_{воды}} = -3 \]
Ответ: Отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой, равно -3.
- Отношение массы чая к массе воды:
Из предыдущего пункта мы уже выяснили, что отношение масс чая и воды равно -3.
- Определение конечной температуры чая после добавления второй порции воды:
После добавления ещё одной такой же порции холодной воды масса чая увеличится, а масса воды будет увеличена вдвое. Так как массы чая и воды имеют отношение -3, то новое отношение масс будет -4 (чай к воде).
Используем теперь закон сохранения энергии для определения новой температуры. Теплота, отданная чаем, равна теплоте, полученной от воды:
\[ m_{чая}c\Delta T_{1} = -2m_{воды}c\Delta T_{2} \]
\[ m_{чая}c(100 - T_{2}) = -2m_{воды}c(T_{2} - 20) \]
\[ m_{чая}(100 - T_{2}) = -2(4m_{чая})(T_{2} - 20) \]
\[ 100m_{чая} - m_{чая}T_{2} = -8m_{чая}T_{2} + 160m_{чая} \]
\[ 260m_{чая} = 9m_{чая}T_{2} \]
\[ T_{2} = \frac{260}{9} \]
\[ T_{2} \approx 28.89 °C\]
Ответ: Температура чая после добавления второй порции воды и установления нового теплового равновесия составит приблизительно 28.89 °C.
