.

Конечно! Давайте разберем задачи из представленного изображения.

ВАРИАНТ 1

1. Докажите, что функция \( f(x) = 5\sin{x} + \cos{2x} - 1 \) является первообразной функции \( F(x) = \sin{2x} \) на всей области определения.

   Для доказательства, найдем производную от функции \( F(x) \).

   • \( F(x) = \sin{2x} \)

   Применим правило дифференцирования сложной функции:

   • Производная от \( \sin{2x} \) = \( 2\cos{2x} \)

   Теперь сравним \( f(x) = 5\sin{x} + \cos{2x} - 1 \) с найденной производной. Здесь не видно явного соответствия. Скорее всего, задача имеет опечатку, так как эти функции не связаны напрямую через дифференцирование.

2. Найдите производную функции, график которой проходит через точку с координатами \( \left( \frac{\pi}{4}, 0 \right) \).

   Кажется, пропущена часть задачи, так как указание не совсем корректное без определения функции. Обычно задача находит производную функции: предположительно, речь идет о проверке соответствия данной точки найдем уравнение. Необходимо более подробное уточнение этой задачи.

3. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями \( y=0 \), \( x=0 \), \( x=\frac{3}{2} \), \( y(x)=x^2 + |x| \).

   Для нахождения площади используем интеграл:

   • Вначале разберемся с функцией \( y(x) = x^2 + |x| \). Так как модуль \( |x| \) разбивается на два случая:
     • \( x \ge 0 \rightarrow y = x^2 + x \)
     • \( x < 0 \rightarrow y = x^2 - x \)

   Однако в условии приведены границы от \( x = 0 \) до \( x = \frac{3}{2} \). Следовательно, рассматриваем первый случай \( y = x^2 + x \).

   Интеграл будет от 0 до \(\frac{3}{2}\):

   \[ \int_{0}^{\frac{3}{2}} (x^2 + x) \, dx \]

   Посчитаем:

   \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \]

   Подставляем границы интеграла:

   \[ \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^{\frac{3}{2}} \]

   \[ = \left( \frac{\left( \frac{3}{2} \right)^3}{3} + \frac{\left( \frac{3}{2} \right)^2}{2} \right) - (0) \]

   \[ = \frac{\frac{27}{8}}{3} + \frac{\frac{9}{4}}{2} \]

   \[ = \frac{27}{24} + \frac{18}{16} \]

   \[ = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} \]

   \[ = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \]

   Площадь = \( \frac{9}{4} \).

Для дальнейшего решения по ВАРИАНТУ 2 или уточнения задач, дайте, пожалуйста, больше подробностей.