Решите

Для решения задачи шаг за шагом:

Дано:

• Мотоциклист выехал из пункта A в пункт B и обратно с изменяющейся скоростью.
• Скорость туда — \( v \) км/ч.
• Обратно: первую половину пути скорость меньше на 6 км/ч — \( v - 6 \) км/ч.
• Вторую половину пути скорость 56 км/ч.
• На обратную дорогу потратил столько же времени, сколько на путь из A в B.

Найти:

Скорость \( v \).

Решение:

1. Пусть \( S \) — расстояние между пунктами A и B.

   • Время в пути туда: \[ t_1 = \frac{S}{v} \]

2. Обратный путь:

   • Первая половина пути со скоростью \( v - 6 \): \[ t_2 = \frac{S/2}{v - 6} = \frac{S}{2(v - 6)} \]
   • Вторая половина пути со скоростью \( 56 \) км/ч: \[ t_3 = \frac{S/2}{56} = \frac{S}{112} \]

3. Общая длительность обратного пути: \[ t_2 + t_3 = \frac{S}{2(v - 6)} + \frac{S}{112} \]

4. Равенство времен: \[ \frac{S}{v} = \frac{S}{2(v - 6)} + \frac{S}{112} \]

5. Упростим уравнение:

   • Уберем \( S \), поскольку оно одинаково: \[ \frac{1}{v} = \frac{1}{2(v - 6)} + \frac{1}{112} \]

6. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{1}{v} = \frac{56}{112(v - 6)} + \frac{(v - 6)}{112(v - 6)} \] \[ \frac{1}{v} = \frac{56 + v - 6}{112(v - 6)} \] \[ \frac{1}{v} = \frac{v + 50}{112(v - 6)} \]

7. Решим уравнение: \[ 112(v - 6) = v(v + 50) \] \[ 112v - 672 = v^2 + 50v \] \[ v^2 - 62v + 672 = 0 \]

8. Решим квадратное уравнение:

   • Дискриминант: \[ D = 62^2 - 4 \times 672 = 3844 - 2688 = 1156 \]
   • Корни: \[ v_1, v_2 = \frac{62 \pm \sqrt{1156}}{2} \] \[ v_1, v_2 = \frac{62 \pm 34}{2} \]
   • Получаем: \[ v_1 = \frac{96}{2} = 48, \quad v_2 = \frac{28}{2} = 14 \]

9. Проверим подходящий корень:

   • \( v > 40 \): подходим скорость \( v = 48 \).

Ответ:

Скорость на пути из A в B — 48 км/ч.