вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x²-6x+11 y=x+1 график
Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 - 6x + 11 \) и \( y = x + 1 \) находим точки их пересечения, которые будут представлять собой граничные точки области, ограниченной этими графиками.
- Начнем с поиска точек пересечения линий \( y = x^2 - 6x + 11 \) и \( y = x + 1 \). Для этого приравняем два уравнения друг к другу:
\[ x^2 - 6x + 11 = x + 1 \]
- Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
\[ x^2 - 6x + 11 - x - 1 = 0 \]
\[ x^2 - 7x + 10 = 0 \]
- Теперь решим это уравнение для нахождения значений \( x \). Раскладываем уравнение на множители или используем квадратное уравнение:
\[ (x - 5)(x - 2) = 0 \]
- Находим корни уравнения:
\[ x = 5 \] или \( x = 2 \)
Таким образом, точки пересечения линий находятся при \( x = 5 \) и \( x = 2 \).
- Теперь вычислим соответствующие значения \( y \) для точек \( x = 5 \) и \( x = 2 \) в каждом из уравнений:
Для \( x = 5 \): \[ y = 5^2 - 6 \cdot 5 + 11 = 25 - 30 + 11 = 6 \] \[ y = 5 + 1 = 6 \]
Таким образом, точка пересечения при \( x = 5 \) имеет координаты (5, 6).
Для \( x = 2 \): \[ y = 2^2 - 6 \cdot 2 + 11 = 4 - 12 + 11 = 3 \] \[ y = 2 + 1 = 3 \]
Таким образом, точка пересечения при \( x = 2 \) имеет координаты (2, 3).
- Далее, для вычисления площади фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем воспользоваться интегралом. Площадь фигуры равна разности интегралов функций, определенных на соответствующих промежутках:
\[ S = \int_{2}^{5} ((x^2 - 6x + 11) - (x + 1)) dx \]
- Выполним вычисления:
\[ S = \int_{2}^{5} (x^2 - 6x + 11 - x - 1) dx = \int_{2}^{5} (x^2 - 7x + 10) dx \]
\[ S = \left[ \frac{1}{3} x^3 - \frac{7}{2} x^2 + 10x \right]_{2}^{5} \]
\[ S = \left[ \frac{1}{3} \cdot 5^3 - \frac{7}{2} \cdot 5^2 + 10 \cdot 5 \right] - \left[ \frac{1}{3} \cdot 2^3 - \frac{7}{2} \cdot 2^2 + 10 \cdot 2 \right] \]
\[ S = \left[ \frac{125}{3} - \frac{175}{2} + 50 \right] - \left[ \frac{8}{3} - 14 + 20 \right] \]
\[ S = \left[ \frac{125}{3} - \frac{175}{2} + 50 \right] - \left[ \frac{26}{3} + 6 \right] = \frac{50}{3} - 6 = \frac{32}{3} \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 - 6x + 11 \) и \( y = x + 1 \) равна \( \frac{32}{3} \).
