Задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число…

Дано:

• Двузначное число, которое меньше 500 и делится на 15
• Разность между числом, полученным после перестановки цифр в разрядах десятков и единиц, и изначально задуманным числом составляет 54

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Представим исходное трехзначное число в виде \(ABC\), где \(A\), \(B\) и \(C\) – цифры в разрядах сотен, десятков и единиц соответственно.

2. Поскольку число делится на 15, то оно также делится и на 3 и на 5. Из условия известно, что число меньше 500 и трехзначное, следовательно, возможные варианты с учетом деления на 3 и 5: 105, 135, 165, 195, 225, 255, 285, 315, 345, 375, 405, 435, 465, 495.

3. Обратим внимание на то, что при перестановке цифр в разрядах десятков и единиц у нас получается число с разностью 54.
   Перестановка цифр даёт число в виде \(ACB\). Разность между исходным числом \(ABC\) и переставленным \(ACB\) в этом случае равна:

   \[ABC - ACB = 100A + 10B + C - (100A + 10C + B) = 99B - 99C = 99(B - C)\]

   Учитывая, что разность равна 54, то: \(99(B - C) = 54\)

4. Теперь мы знаем, что \(B - C = 54 / 99 = 6 / 11\). Поскольку \(B\) и \(C\) являются цифрами, можем определить, что \(B = C + 1\). Подходит только значение \(B=7\), \(C=6\).

5. Следовательно, задуманное трехзначное число – 165.
   Проверим: \(165 - 561 = 165 - 156 = 9\)

Таким образом, задуманное число равно 165.