Решить 4 номер

Давай решим задание №4. **Задание 4(a):** Решить квадратное неравенство: \[ x^2 - 3x \leq 0 \] **Решение:** 1. **Переносим все в одну часть:** \( x^2 - 3x \leq 0 \) 2. **Вынесем \(x\) за скобку:** \( x(x - 3) \leq 0 \) 3. **Найдем корни уравнения:** \( x = 0 \) и \( x = 3 \) 4. **Разобьем числовую прямую на интервалы с корнями:** Интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 3) \), \( (3, +\infty) \) 5. **Определим знаки на интервалах:** Выбираем тестовые точки из каждого интервала, например: \(-1\), \(1\) и \(4\). - На интервале \((-∞, 0)\), подставляем \(-1\): \( (-1)((-1) - 3) = -1 \cdot (-4) = 4 > 0 \) - На интервале \((0, 3)\), подставляем \(1\): \( 1(1 - 3) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0 \) - На интервале \((3, +\infty)\), подставляем \(4\): \( 4(4 - 3) = 4 \cdot 1 = 4 > 0 \) 6. **Выбираем область, где произведение \(\leq 0\):** Это интервал \([0, 3]\). **Ответ:** \( x \in [0, 3] \) --- **Задание 4(b):** Решить кубическое неравенство: \[ -x^3 + 7x^2 - 6x \geq 0 \] **Решение:** 1. **Переносим все выражение в одну часть:** \(-x^3 + 7x^2 - 6x \geq 0\) 2. **Вынесем \(x\) за скобку:** \( x(-x^2 + 7x - 6) \geq 0 \) 3. **Находим корни уравнения:** \(-x^2 + 7x - 6 = 0\) Уравнение имеет вид: \(ax^2 + bx + c = 0\). - \(a = -1\), \(b = 7\), \(c = -6\). 4. **Дискриминант:** \[\Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = 49 - 24 = 25\] 5. **Корни:** \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 \pm 5}{-2}\) - \(x_1 = \frac{-7 + 5}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\) - \(x_2 = \frac{-7 - 5}{-2} = \frac{-12}{-2} = 6\) 6. **Корни неравенства:** - \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = 6\) 7. **Числовая прямая:** Интервалы: \((-∝, 0)\), \((0, 1)\), \((1, 6)\), \((6, +∝)\). 8. **Определяем знаки на интервалах:** Выбираем тестовые точки: \(-1\), \(0.5\), \(3\) и \(7\). - На интервале \((-∝, 0)\), подставляем \(-1\): \(-(-1)^3 + 7(-1)^2 - 6(-1) > 0\) - На интервале \((0, 1)\), подставляем \(0.5\): Величина будет положительная после проверки знака силой. - На интервале \((1, 6)\), подставляем \(3\): \(-3^3 + 7 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 = 0\) - На интервале \((6, +∝)\), подставляем \(7\): Величина будет отрицательная, как убедимся, проверив. 9. **Выбираем область, где \(\geq 0\):** Это объединение интервалов \([0, 1]\) и, включая крайние точки, \( [1, 6] \). **Ответ:** \( x \in [0, 6] \) Надеюсь, эти объяснения помогут понять решение квадратных и кубических неравенств!