решить 4 номер
Давай решим задание №4.
Задание 4(a):
Решить квадратное неравенство:
\[ x^2 - 3x \leq 0 \]
Решение:
Переносим все в одну часть:
\( x^2 - 3x \leq 0 \)
Вынесем \(x\) за скобку:
\( x(x - 3) \leq 0 \)
Найдем корни уравнения:
\( x = 0 \) и \( x = 3 \)
Разобьем числовую прямую на интервалы с корнями:
Интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 3) \), \( (3, +\infty) \)
Определим знаки на интервалах:
Выбираем тестовые точки из каждого интервала, например: \(-1\), \(1\) и \(4\).
- На интервале \((-∞, 0)\), подставляем \(-1\): \( (-1)((-1) - 3) = -1 \cdot (-4) = 4 > 0 \)
- На интервале \((0, 3)\), подставляем \(1\): \( 1(1 - 3) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0 \)
- На интервале \((3, +\infty)\), подставляем \(4\): \( 4(4 - 3) = 4 \cdot 1 = 4 > 0 \)
Выбираем область, где произведение \(\leq 0\):
Это интервал \([0, 3]\).
Ответ: \( x \in [0, 3] \)
Задание 4(b):
Решить кубическое неравенство:
\[ -x^3 + 7x^2 - 6x \geq 0 \]
Решение:
Переносим все выражение в одну часть:
\(-x^3 + 7x^2 - 6x \geq 0\)
Вынесем \(x\) за скобку:
\( x(-x^2 + 7x - 6) \geq 0 \)
Находим корни уравнения:
\(-x^2 + 7x - 6 = 0\)
Уравнение имеет вид: \(ax^2 + bx + c = 0\).
- \(a = -1\), \(b = 7\), \(c = -6\).
Дискриминант:
\[\Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = 49 - 24 = 25\]
Корни:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 \pm 5}{-2}\)
- \(x_1 = \frac{-7 + 5}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\)
- \(x_2 = \frac{-7 - 5}{-2} = \frac{-12}{-2} = 6\)
Корни неравенства:
- \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = 6\)
Числовая прямая:
Интервалы: \((-∝, 0)\), \((0, 1)\), \((1, 6)\), \((6, +∝)\).
Определяем знаки на интервалах:
Выбираем тестовые точки: \(-1\), \(0.5\), \(3\) и \(7\).
- На интервале \((-∝, 0)\), подставляем \(-1\): \(-(-1)^3 + 7(-1)^2 - 6(-1) > 0\)
- На интервале \((0, 1)\), подставляем \(0.5\): Величина будет положительная после проверки знака силой.
- На интервале \((1, 6)\), подставляем \(3\): \(-3^3 + 7 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 = 0\)
- На интервале \((6, +∝)\), подставляем \(7\): Величина будет отрицательная, как убедимся, проверив.
Выбираем область, где \(\geq 0\):
Это объединение интервалов \([0, 1]\) и, включая крайние точки, \( [1, 6] \).
Ответ: \( x \in [0, 6] \)
Надеюсь, эти объяснения помогут понять решение квадратных и кубических неравенств!
