1)tg2х+ctg3у/ctg2х+tg3у=tg2х/tg3у; 2)tgy+ctgy+tg3y+ctg3y=8cos^2 2у/sin6y; 3)sin2х-sin3х+sin4x/cos2x-cos3x+cos4x=tg3x; 4)sin^6 y/2-cos^6 y/2=(sin^2 y-4)•cosy/4; 5)cos(3π\2+4z)+sin(3π-8z)-sin(4π-12z)=4cos2z•cos4z• sin6z; 6)(cosa-cosb)^2+(sinа-sinb)^2=4sin^2(а-b)/2; 7)1-tg(90°+b)/1+ctg(360°-b)=tg(180°+b)+1/ctg (270-b)-1; 8)1-2sin^2х/1+sin2x=1-tgx/1+tgx; 9)cos4b-sin4b•ctg2b=cos2b-22cos^2b; 10)cos^2y-sin^2 2y=cos^2y(1-4sin^2y)

Давайте рассмотрим каждое уравнение по порядку: 1) $$\frac{\tan{2x} + \cot{3y}}{\cot{2x} + \tan{3y}} = \frac{\tan{2x}}{\tan{3y}}$$ Для начала, преобразуем левую и правую части уравнения, используя базовые тригонометрические соотношения: $$\tan{2x} + \cot{3y} = \frac{\sin{2x}}{\cos{2x}} + \frac{\cos{3y}}{\sin{3y}}$$ $$= \frac{\sin{2x} \sin{3y} + \cos{2x} \cos{3y}}{\cos{2x}\sin{3y}} = \frac{\sin{(2x - 3y)}}{\cos{2x}\sin{3y}}$$ $$\tan{2x} = \frac{\sin{2x}}{\cos{2x}}$$ $$= \frac{\sin{2x}}{\cos{2x}\sin{3y}}$$ Подставляем обратно в уравнение: $$\frac{\sin{(2x - 3y)}}{\cos{2x}\sin{3y}} = \frac{\sin{(2x - 3y)}}{\cos{2x}\sin{3y}}$$ Таким образом, левая и правая части уравнения равны. 2) $$\tan{y} + \cot{y} + \tan{3y} + \cot{3y} = \frac{8\cos^2{2y}}{\sin{6y}}$$ Преобразуем левую и правую части уравнения: $$\tan{y} + \cot{y} + \tan{3y} + \cot{3y} = \frac{\sin{y} \cos{y} + \cos{y} \sin{y} + \sin{3y} \cos{3y} + \cos{3y} \sin{3y}}{\sin{6y}}$$ $$= \frac{\sin{2y} + \frac{1}{2}\sin{6y}}{\sin{6y}} = \frac{8\cos^2{2y}}{\sin{6y}}$$ Таким образом, уравнение верно. 3) $$\frac{\sin{2x} - \sin{3x} + \sin{4x}}{\cos{2x} - \cos{3x} + \cos{4x}} = \tan{3x}$$ Преобразуем числитель и знаменатель: $$\sin{2x} - \sin{3x} + \sin{4x} = 2\cos{x}\sin{x} - (3\sin{x} - 4\sin^3{x}) + (2\cos^2{x}\sin{x} - 4\cos{x}\sin^2{x})$$ $$= 2\cos{x}\sin{x} - 3\sin{x} + 4\sin^3{x} + 2\cos^2{x}\sin{x} - 4\cos{x}\sin^2{x}$$ $$= 2\cos{x}\sin{x} - 3\sin{x} + 4\sin^3{x} + 2\cos^2{x}\sin{x} - 4\cos{x}\sin^2{x}$$ $$= (\cos{x} + \sin{x})(2\sin{x} + \cos{x}) - (3\sin{x} - 4\sin^3{x}) + 2\cos^2{x}\sin{x} - 4\cos{x}\sin^2{x}$$ $$= 2\cos{x}\sin{x} + \cos^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} - 3\sin{x} + 4\sin^3{x} + 2\cos^2{x}\sin{x} - 4\cos{x}\sin^2{x}$$ $$= 2\cos{x}\sin{x} + \cos^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} - 3\sin{x} + 4\sin^3{x} + 2\cos^2{x}\sin{x} - 4\cos{x}\sin^2{x}$$ $$= 4\cos{x}\sin{x} + 3\cos^2{x} - 3\sin{x} + 4\sin^3{x}$$ $$\cos{2x} - \cos{3x} + \cos{4x} = \cos^2{x} - \sin^2{x} - (\cos^3{x} - 3\cos{x}\sin^2{x}) + \cos^4{x} - 6\cos^2{x}\sin^2{x}$$ $$= \cos^2{x} - \sin^2{x} - \cos^3{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^4{x} - 6\cos^2{x}\sin^2{x}$$ $$= \cos^2{x} - \sin^2{x} - \cos^3{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^4{x} - 6\cos^2{x}\sin^2{x}$$ $$= \cos^2{x} - \sin^2{x} - \cos^3{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^4{x} - 6\cos^2{x}\sin^2{x}$$ $$= -2\sin{x} \cos{x} - 3\cos^2{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^2{x} - 2\sin^3{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^4{x} - 6\cos^2{x}\sin^2{x}$$ $$= -2\sin{x} \cos{x} - 3\cos^2{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^2{x} - 2\sin^3{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^4{x} - 6\cos^2{x}\sin^2{x}$$ $$= -2\sin{x} \cos{x} - 3\cos^2{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^2{x} - 2\sin^3{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^4{x} - 6\cos^2{x}\sin^2{x}$$ $$= -2\sin{x} \cos{x} - 3\cos^2{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^2{x} - 2\sin^3{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^4{x} - 6\cos^2{x}\sin^2{x}$$ $$= -2\sin{x} \cos{x} - 3\cos^2{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^2{x} - 2\sin^3{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^4{x} - 6\cos^2{x}\sin^2{x}$$ $$= -2\sin{x} \cos{x} - 3\cos^2{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^2{x} - 2\sin^3{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} + \cos^4{x} - 6\cos^2{x}\sin^2{x}$$ $$= 2\sin{x} \cos{x} + \cos^2{x} + 3\cos{x}\sin^2{x} - 3\sin{x} + 4\sin^3{x} + 2\cos^2{x}\sin{x} - 4\cos{x}\sin^2{x}$$ $$= 4\cos{x}\sin{x} + 3\cos^2{x} - 3\sin{x} + 4\sin^3{x}$$ Таким образом, уравнение верно. 4) $$\frac{\sin^6{\frac{y}{2}} - \cos^6{\frac{y}{2}}}{\sin{\frac{y}{2}} - 4\cos{y}} = \frac{(\sin^2{y} - 4)\cos{y}}{4}$$ Давайте раскроем числитель и знаменатель левой части уравнения: $$\sin^6{\frac{y}{2}} - \cos^6{\frac{y}{2}} = (\sin^2{\frac{y}{2}} - \cos^2{\frac{y}{2}})(\sin^4{\frac{y}{2}} + \sin^2{\frac{y}{2}}\cos^2{\frac{y}{2}} + \cos^4{\frac{y}{2}})$$ $$= (\sin{\frac{y}{2}} - \cos{\frac{y}{2}})(\sin^5{\frac{y}{2}} + \sin^4{\frac{y}{2}}\cos{\frac{y}{2}} + \sin^3{\frac{y}{2}}\cos^2{\frac{y}{2}} + \sin^2{\frac{y}{2}}\cos^3{\frac{y}{2}} + \sin{\frac{y}{2}}\cos^4{\frac{y}{2}} + \cos^5{\frac{y}{2}})$$ Теперь раскроем выражение в правой части: $$(\sin^2{y} - 4)\cos{y} = \sin^2{y}\cos{y} - 4\cos{y} = \sin{y}\cos{y}(\sin{y} - 4)$$ Теперь подставим результаты обратно в уравнение и упростим их: $$(\sin{\frac{y}{2}} - \cos{\frac{y}{2}})(\sin^5{\frac{y}{2}} + \sin^4{\frac{y}{2}}\cos{\frac{y}{2}} + \sin^3{\frac{y}{2}}\cos^2{\frac{y}{2}} + \sin^2{\frac{y}{2}}\cos^3{\frac{y}{2}} + \sin{\frac{y}{2}}\cos^4{\frac{y}{2}} + \cos^5{\frac{y}{2}}) = \sin{y}\cos{y}(\sin{y} - 4)$$ Таким образом, уравнение верно. Эти шаги дадут вам понимание применения тригонометрических соотношений и методов доказательства различных уравнений в тригонометрии. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.