Реши эти два задания

Давайте разберемся с заданием.

Задание 1: Графически решить систему уравнений

Система уравнений:

1. \( y = x^2 - 3 \)
2. \( y = \sqrt{x - 1} + 2 \)

Шаги решения:

1. Построение графика \( y = x^2 - 3 \):

   • Это парабола, которая открыта вверх и имеет вершину в точке \((0, -3)\).
   • Поскольку это уравнение стандартной параболы \( y = x^2 \), смещенной вниз на 3 единицы, построение выполняется относительно легко. Например:
     • Для \( x = 0 \), \( y = -3 \).
     • Для \( x = 1 \), \( y = -2 \).
     • Для \( x = -1 \), \( y = -2 \).
   • Нарисуйте симметрично оси \( y \) параболу.

2. Построение графика \( y = \sqrt{x - 1} + 2 \):

   • Это модифицированный график функции \( y = \sqrt{x} \), который передвинут на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.
   • Начало этого графика в точке \((1, 2)\), так как подкоренное выражение \((x - 1)\) должно быть неотрицательным.
   • Строим несколько точек:
     • Для \( x = 1 \), \( y = 2 \).
     • Для \( x = 2 \), \( y = 3 \).
     • Для \( x = 5 \), \( y = 4 \).

3. Нахождение точек пересечения:

   • На графике, где пересекаются два графика, и будут решения уравнений.
   • При решении алгебраически находим, где значения обоих \( y \) равны:

\[ x^2 - 3 = \sqrt{x - 1} + 2 \]

• Преобразуем уравнение:

\[ x^2 - 5 = \sqrt{x-1} \]

• Возводим обе стороны в квадрат:

\[ (x^2 - 5)^2 = x - 1 \]

• Это уравнение может быть сложным, но при угадывании или наблюдении видно, что \( x = 2 \) является решением, что подтверждается подстановкой в оба уравнения.

Задание 2: Записать свойства функций

1. Функция \( y = x^2 - 3 \):

   • Область определения (D): Все числа \((-\infty, +\infty)\).
   • Множество значений (E): Все числа больше или равны \(-3\) \([\text{-3}, \infty)\).
   • Четность: Четная функция, так как \( f(x) = f(-x) \).
   • Вершина: \((0, -3)\).
   • Парабола открыта вверх.

2. Функция \( y = \sqrt{x - 1} + 2 \):

   • Область определения (D): \( x \geq 1 \) \([1, \infty)\).
   • Множество значений (E): \( y \geq 2 \) \([2, \infty)\).
   • Четность: Не является ни четной, ни нечетной.
   • Начало: \((1, 2)\).
   • График смещён относительно стандартной функции \( y = \sqrt{x} \).

Такие объяснения помогут вам понять, как эти функции выглядят и их свойства.