Реши

Для решения задачи найдем радиус окружности с центром на луче \( MN \), касающийся этого луча и проходящий через точки \( P \) и \( Q \).

Дано:

• \( MP = 8 \)
• \( MQ = 12 \)
• \( \cos \angle MNK = \frac{\sqrt{6}}{4} \)

1. Установим уравнения окружности:

Будем использовать уравнение окружности в общем виде: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \] Поскольку окружность касается луча \( MN \), центр \( (a, b) \) находится на линии, перпендикулярной к \( MN \).

2. Используем косинус угла:

Эксцентричный угол между лучом \( MN \) и нормалью (перпендикуляром) будет \( 90^\circ - \angle MNK \).

\[ \sin(90^\circ - \theta) = \cos(\theta) = \frac{\sqrt{6}}{4} \]

3. Радиус \( r \):

Радиус \( r \) — это расстояние от центра окружности до \( MN \), и также это половина расстояния между точками \( P \) и \( Q \), если окружность проходит через середину отрезка \( PQ \).

Расстояние \( PQ = 12 - 8 = 4 \).

Поэтому центр окружности находится на расстоянии: \[ AM = \frac{8 + 12}{2} = 10 \]

Решение:

Радиус окружности, касающийся луча \( MN \) и проходящий через \( P \) и \( Q \) равен расстоянию от центра \( AM \), делённому на \( \cos \angle MNK \).

Теперь рассчитаем сам радиус: \[ r = d = 10 \times \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{40}{\sqrt{6}} \]

Упрощение:

Для ответа нужно разделить на \( \sqrt{10} \): \[ \frac{r}{\sqrt{10}} = \frac{\frac{40}{\sqrt{6}}}{\sqrt{10}} = \frac{40}{\sqrt{60}} \]

Упрощая \(\sqrt{60}\): \[ \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \]

Таким образом, радиус окружности равен: \[ \frac{40}{2\sqrt{15}} = \frac{20}{\sqrt{15}} \]

Поэтому искомое значение:

Предлагается новую форму записи: \[ r' = \frac{20 \sqrt{15}}{15} \]

Это значение будет необходимо делить на \(\sqrt{10}\) для получения конкретного ответа.

Пусть это \( r' \) есть ответное выражение, учитывающее все преобразования.