Постройте график функции f ( x ) = x 2 − 3 ∣ x ∣ − 4 . f(x)=x 2 −3∣x∣−4. Определите, при каких значениях m m прямая y = m y=m не имеет с графиком общих точек.
Давайте построим график данной функции f(x) = x² - 3|𝑥| - 4, чтобы лучше понять ее поведение.
- График функции f(x) = x² - 3|𝑥| - 4:
Для начала, давайте рассмотрим отдельно две части функции:
- При 𝑥 ≥ 0: f(x) = x² - 3𝑥 - 4.
- При 𝑥 < 0: f(x) = x² + 3𝑥 - 4.
Теперь нарисуем график каждой из этих частей и объединим их (с учетом модуля):
При 𝑥 ≥ 0:
- График f(x) = x² - 3𝑥 - 4 представляет собой параболу, направленную вверх, с ветвями, которые пересекаются в точке (3/2, -13/4).
При 𝑥 < 0:
- График f(x) = x² + 3𝑥 - 4 также представляет собой параболу, но направленную вниз, с вершиной в точке (-3/2, -13/4).
После объединения этих графиков получим симметричную относительно оси y функцию с ветвями, которые пересекаются в точке (0, -4). График функции будет иметь вид качественного бесконечного восьмерка.
- Прямая y = m:
Теперь рассмотрим прямую y = m. Из анализа графика функции f(x) видно, что прямая y = m может касаться графика функции f(x) в двух точках, пересекать его или пересекаться в одной точке.
Прямая касается графика функции:
- Если прямая касается графика функции f(x), то она должна касаться его в вершине их совместного касательного отрезка.
Прямая пересекает график функции:
- Прямая y = m пересекает график функции f(x) в двух точках, когда значение m находится между минимальным и максимальным значением функции f(x). В данном случае, минимальное значение функции (происходит в вершине ветви направленной вниз) составляет -13/4, а максимальное значение функции неограничено в плюс бесконечность. Следовательно, прямая y = m пересекает график функции f(x) при всех значениях m.
Прямая не имеет с графиком общих точек:
- Прямая y = m не имеет с графиком общих точек, если она находится выше максимума или ниже минимума функции f(x). Таким образом, прямая находится ниже -13/4 или выше всех значений функции f(x), что соответствует m < -13/4 или m > max(f(x)).
Итак, прямая y = m не имеет с графиком общих точек при m < -13/4 или m > max(f(x)) (когда m выходит за пределы значений функции f(x), что не имеет конечного верхнего предела).
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, при каких значениях m прямая y = m не имеет общих точек с графиком функции.
