Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 5 см а диагональ боковой грани равна 13см. Найдите площадь боковой и полный поверхности призмы

Для решения задачи найдем сначала недостающие элементы правильной треугольной призмы и затем используем их для вычисления площади боковой и полной поверхности.

Шаг 1: Найдите высоту боковой грани

Из условия известно, что боковое ребро (высота призмы) \( h = 5 \) см, а диагональ боковой грани \( d = 13 \) см. Из рисунка боковой грани видно, что она представляет собой прямоугольник, диагональ которого можно выразить через гипотенузу прямоугольного треугольника:

\[ d = \sqrt{b^2 + h^2} \]

Где \( b \) - это основание прямоугольника, которое совпадает со стороной правильного треугольника. Подставляем известные значения и находим \( b \):

\[ 13 = \sqrt{b^2 + 5^2} \]

\[ 13 = \sqrt{b^2 + 25} \]

Возводим обе стороны в квадрат:

\[ 169 = b^2 + 25 \]

\[ b^2 = 144 \]

\[ b = 12 \text{ см} \]

Шаг 2: Найдите площадь боковой поверхности

Боковая поверхность призмы состоит из трех прямоугольников. Площадь каждого из них равна произведению его сторон. Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} \) равна:

\[ S_{\text{бок}} = 3 \times b \times h = 3 \times 12 \times 5 = 180 \text{ см}^2 \]

Шаг 3: Найдите площадь полной поверхности

Полная поверхность призмы состоит из боковой поверхности и двух оснований в форме правильного треугольника. Площадь одного правильного треугольника \( S_{\text{осн}} \) можно найти по формуле с использованием стороны \( b = 12 \) см:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times b^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Площадь полной поверхности \( S_{\text{полн}} \) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

\[ S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \times S_{\text{осн}} = 180 + 2 \times 36\sqrt{3} = 180 + 72\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Это и есть площадь боковой и полной поверхности правильной треугольной призмы.