Для решения задачи найдем сначала недостающие элементы правильной треугольной призмы и затем используем их для вычисления площади боковой и полной поверхности.
Шаг 1: Найдите высоту боковой грани
Из условия известно, что боковое ребро (высота призмы) ( h = 5 ) см, а диагональ боковой грани ( d = 13 ) см. Из рисунка боковой грани видно, что она представляет собой прямоугольник, диагональ которого можно выразить через гипотенузу прямоугольного треугольника:
[
d = \sqrt{b^2 + h^2}
]
Где ( b ) - это основание прямоугольника, которое совпадает со стороной правильного треугольника. Подставляем известные значения и находим ( b ):
[
13 = \sqrt{b^2 + 5^2}
]
[
13 = \sqrt{b^2 + 25}
]
Возводим обе стороны в квадрат:
[
169 = b^2 + 25
]
[
b^2 = 144
]
[
b = 12 \text{ см}
]
Шаг 2: Найдите площадь боковой поверхности
Боковая поверхность призмы состоит из трех прямоугольников. Площадь каждого из них равна произведению его сторон. Площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} ) равна:
[
S_{\text{бок}} = 3 \times b \times h = 3 \times 12 \times 5 = 180 \text{ см}^2
]
Шаг 3: Найдите площадь полной поверхности
Полная поверхность призмы состоит из боковой поверхности и двух оснований в форме правильного треугольника. Площадь одного правильного треугольника ( S_{\text{осн}} ) можно найти по формуле с использованием стороны ( b = 12 ) см:
[
S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times b^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = 36\sqrt{3} \text{ см}^2
]
Площадь полной поверхности ( S_{\text{полн}} ) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:
[
S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \times S_{\text{осн}} = 180 + 2 \times 36\sqrt{3} = 180 + 72\sqrt{3} \text{ см}^2
]
Это и есть площадь боковой и полной поверхности правильной треугольной призмы.
