докажите что точки симметричные точке пересечения высот треугольника относительно его сторон лежат на описанной около этого треугольника окружности
Для доказательства данного утверждения, давайте рассмотрим треугольник ABC и его высоты AA', BB' и CC'.
Пусть H - точка пересечения высот треугольника ABC (ортоцентр). Точка H симметрична точке пересечения высот относительно стороны треугольника (по определению перпендикулярности), поэтому будем рассматривать симметричные точки H' и A'' относительно стороны BC.
Обозначим точки: D - середина стороны BC, E - середина стороны AC, F - середина стороны AB. Поскольку H' и A'' - симметричные точки, то HA'' = HH' и BH' = BA'.
Рассмотрим теперь треугольник A''CB'. Согласно теореме Пифагора, AB' = AC' и BC' = BD. Также из равенства углов следует, что A''C || AC' и A''B' || AB'. Таким образом, мы имеем равные стороны и параллельные стороны, что свидетельствует о том, что треугольник A''CB' - равнобедренный.
Теперь обратимся к треугольнику ABC и построим его описанную окружность. В случае равнобедренного треугольника BAC с высотами BB' и CC', описанная окружность будет проходить через вершину A и середину отрезка BC (H - ортоцентр).
Таким образом, точки H' и A'' - симметричные точке пересечения высот треугольника относительно его сторон действительно лежат на описанной около треугольника ABC окружности.
