Постройте график функции у = |x-3|- |x +3 и найдите все значения к, при которых прямая у = kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
Решение:
- Построение графика функции y = |x-3| - |x+3):
Для построения графика функции y = |x-3| - |x+3) мы рассмотрим три интервала значений x: x < -3, -3 < x < 3 и x > 3.
Когда x < -3, обе абсолютные величины становятся отрицательными: |x-3| = -(x-3) = -x+3, и |x+3| = -(x+3) = -x-3. Поэтому y = -(x-3) - -(x+3) = -x + 3 + x + 3 = 6.
Когда -3 < x < 3, |x-3| = x-3, и |x+3| = -(x+3) = -x-3. Таким образом, y = x-3 - (-x-3) = x - 3 + x + 3 = 2x.
Когда x > 3, обе абсолютные величины становятся положительными: |x-3| = x-3, и |x+3| = x+3. Поэтому y = x-3 - (x+3) = x - 3 - x - 3 = -6.
Теперь построим график функции y = |x-3| - |x+3):
- Найдем значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку:
Обратим внимание на график функции y = |x-3| - |x+3) и прямую y = kx.
Точка пересечения прямой и графика будет находиться в том месте, где прямая y = kx равна значению функции y = |x-3| - |x+3).
Из графика мы видим, что прямая y = kx будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции y = |x-3| - |x+3), когда она касается функции в точке минимума/максимума функции.
Таким образом, точка пересечения будет только в одной из трех зон графика, где прямая касается графика функции один раз.
Таким образом, значения k будут: k = 2 при x в интервале -3 < x < 3 и k = -1 при x в интервале -3 < x < 3.
Ответ: Значения k равны 2 и -1.
