Решение:
1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:
Пусть первый член арифметической прогрессии равен (a), а разность прогрессии равна (d).
Из условия у нас есть два уравнения:
- (a_6 + a_2 = -6)
- (a_9 - a_7 = 1)
Первое уравнение:
(a_6 = a + 5d)
(a_2 = a + d)
Подставим значения в первое уравнение:
(a + 5d + a + d = -6)
(2a + 6d = -6)
Второе уравнение:
(a_9 = a + 8d)
(a_7 = a + 6d)
Подставим значения во второе уравнение:
(a + 8d - (a + 6d) = 1)
(2d = 1)
(d = \frac{1}{2})
Зная разность (d), подставим её в первое уравнение:
(2a + 6(\frac{1}{2}) = -6)
(2a + 3 = -6)
(2a = -9)
(a = -4.5)
Таким образом, первый член арифметической прогрессии (a = -4.5), а разность (d = \frac{1}{2}).
2. Найдите сумму первых 11 членов арифметической прогрессии:
Формула общего члена арифметической прогрессии: (a_n = -1.5n + 3.5)
Сумма первых (n) членов арифметической прогрессии:
[S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]]
Дано (a_n = -1.5n + 3.5). Подставим значения:
[S_{11} = \frac{11}{2} [2(-1.5) + (11-1)3.5]]
[S_{11} = 5.5 [-3 + 35]]
[S_{11} = 5.5 * 32 = 176]
Таким образом, сумма первых 11 членов арифметической прогрессии равна 176.
3. Найдите (a_{11}) и (a_{3} + a_{19}) в арифметической прогрессии:
Известно, что (a_{10} = 8) и (a_{12} = -2).
Для нахождения (a_{11}) и (a_{3} + a_{19}) мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии (a_n = a + (n-1)d).
Для (a_{11}):
[a_{11} = a + 10d]
Зная, что (a_{10} = 8), найдем (d):
[a + 9d = 8]
Для (a_{3}):
[a_{3} = a + 2d]
Для (a_{19}):
[a_{19} = a + 18d]
Теперь подставим значения и найдем искомые значения.
