С-24. Арифметическая прогрессия Вариант 3 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрес-сии (a_{n}) если a_{6} + a_{2} = - 6 a_{9} - a_{7} = 1 2. Найдите сумму первых…

Решение:

1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:

Пусть первый член арифметической прогрессии равен \(a\), а разность прогрессии равна \(d\).

Из условия у нас есть два уравнения:

1. \(a_6 + a_2 = -6\)
2. \(a_9 - a_7 = 1\)

Первое уравнение:

\(a_6 = a + 5d\)
\(a_2 = a + d\)

Подставим значения в первое уравнение:
\(a + 5d + a + d = -6\)
\(2a + 6d = -6\)

Второе уравнение:

\(a_9 = a + 8d\)
\(a_7 = a + 6d\)

Подставим значения во второе уравнение:
\(a + 8d - (a + 6d) = 1\)
\(2d = 1\)
\(d = \frac{1}{2}\)

Зная разность \(d\), подставим её в первое уравнение:
\(2a + 6(\frac{1}{2}) = -6\)
\(2a + 3 = -6\)
\(2a = -9\)
\(a = -4.5\)

Таким образом, первый член арифметической прогрессии \(a = -4.5\), а разность \(d = \frac{1}{2}\).

2. Найдите сумму первых 11 членов арифметической прогрессии:

Формула общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = -1.5n + 3.5\)

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\]

Дано \(a_n = -1.5n + 3.5\). Подставим значения:

\[S_{11} = \frac{11}{2} [2(-1.5) + (11-1)3.5]\]
\[S_{11} = 5.5 [-3 + 35]\]
\[S_{11} = 5.5 * 32 = 176\]

Таким образом, сумма первых 11 членов арифметической прогрессии равна 176.

3. Найдите \(a_{11}\) и \(a_{3} + a_{19}\) в арифметической прогрессии:

Известно, что \(a_{10} = 8\) и \(a_{12} = -2\).

Для нахождения \(a_{11}\) и \(a_{3} + a_{19}\) мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии \(a_n = a + (n-1)d\).

Для \(a_{11}\):
\[a_{11} = a + 10d\]
Зная, что \(a_{10} = 8\), найдем \(d\):
\[a + 9d = 8\]

Для \(a_{3}\):
\[a_{3} = a + 2d\]

Для \(a_{19}\):
\[a_{19} = a + 18d\]

Теперь подставим значения и найдем искомые значения.