Номер 1,2,3,4,5
Давайте разберем каждое из заданий шаг за шагом.
Задание 1
Задача: Найдите восьмой член геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1 = 0{,}0027\) и \(q = -10\).
Решение:
Формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
Для \(b_8\):
\[ b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = 0{,}0027 \cdot (-10)^7 \]
\[ (-10)^7 = -10{,}000{,}000 \]
\[ b_8 = 0{,}0027 \cdot (-10{,}000{,}000) = -27{,}000 \]
Ответ: \(-27{,}000\).
Задание 2
Задача: Последовательность \((b_n)\) — геометрическая прогрессия, в которой \(b_6 = 40\) и \(q = 2\). Найдите \(b_1\).
Решение:
Формула для \(n\)-го члена прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
Для \(b_6 = 40\):
\[ b_6 = b_1 \cdot 2^{5} = 40 \]
\[ b_1 \cdot 32 = 40 \]
\[ b_1 = \frac{40}{32} = 1{,}25 \]
Ответ: \(1{,}25\).
Задание 3
Задача: Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, в которой \(b_1 = 1\) и \(q = 3\).
Решение:
Формула для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \]
Для \(n = 6\):
\[ S_6 = 1 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} \]
\[ 3^6 = 729 \]
\[ S_6 = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364 \]
Ответ: \(364\).
Задание 4
Задача: Известны два члена геометрической прогрессии: \(b_5 = 0{,}5\) и \(b_3 = 4{,}5\). Найдите ее первый член.
Решение:
Форма для членов:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
\[ b_3 = b_1 \cdot q^2 = 4{,}5 \]
\[ b_5 = b_1 \cdot q^4 = 0{,}5 \]
Разделим уравнение для \(b_5\) на уравнение для \(b_3\):
\[ \frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = \frac{0{,}5}{4{,}5} = q^2 \]
\[ q^2 = \frac{1}{9} \]
Поэтому \(q = \frac{1}{3}\) (так как прогрессия убывающая).
Найдем \(b_1\):
\[ 4{,}5 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \]
\[ 4{,}5 = b_1 \cdot \frac{1}{9} \]
\[ b_1 = 4{,}5 \cdot 9 = 40{,}5 \]
Ответ: \(40{,}5\).
Задание 5
Задача: Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 26, а знаменатель прогрессии равен 3. Найдите сумму первых четырех членов этой прогрессии.
Решение:
Сумма первых трех членов:
\[ S_3 = b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 26 \]
\[ b_1(1 + 3 + 9) = 26 \]
\[ b_1 \cdot 13 = 26 \]
\[ b_1 = 2 \]
Теперь найдите сумму первых четырех членов:
\[ S_4 = b_1 (1 + q + q^2 + q^3) \]
\[ S_4 = 2(1 + 3 + 9 + 27) \]
\[ S_4 = 2 \cdot 40 = 80 \]
Ответ: \(80\).
Надеюсь, эти решения помогли вам понять процессы, используемые для решения задач на геометрическую прогрессию!
