Решение

Давайте внимательно рассмотрим задачу и решим её шаг за шагом.

На изображении показан треугольник \( \triangle AMB \) с прямым углом \( \angle AMB = 90^\circ \). Основание \( AB \) равно 15. Нам нужно найти длины сторон \( AM \) и \( MB \) или их соотношение.

Поскольку \( M \) — это ортоцентр в треугольнике, а углы \( \angle MAB \) и \( \angle MBA \) равны, мы можем сделать вывод, что \( \triangle AMB \) — равнобедренный прямоугольный треугольник. Это означает, что \( AM = MB \).

Исходя из свойств равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза \( AB \) связана с катетами соотношением: \[ AB = AM \sqrt{2} \]

Так как \( AB = 15 \), мы получаем: \[ 15 = AM \sqrt{2} \]

Разделим обе стороны на \( \sqrt{2} \): \[ AM = \frac{15}{\sqrt{2}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \): \[ AM = \frac{15\sqrt{2}}{2} \]

Поскольку \( AM = MB \), получаем: \[ AM = MB = \frac{15\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, длины сторон \( AM \) и \( MB \) равны \( \frac{15\sqrt{2}}{2} \).