реши задачу (распиши все действия)

Для решения задачи в данном прямоугольном трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\), начнем с анализа известных данных и использования тригонометрии.

Данные задач

1. Основания трапеции: \(AD\) и \(BC\).
2. Диагональ: \(AC\).
3. Прямой угол: \(\angle A = 90^\circ\).
4. Угол: \(\angle C = 45^\circ\).
5. Основание: \(BC = 6\sqrt{2}\).

Шаги решения

1. Углы треугольника \(ADC\):

   • В \( \triangle ADC \) есть угол \(\angle A = 90^\circ\) и \(\angle C = 45^\circ\).
   • Следовательно, \( \angle D = 45^\circ\) (так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\)).

2. Тип треугольника \(ADC\):

   • Данный треугольник является равнобедренным, так как углы при основаниях \( \angle D \) и \(\angle C\) равны.
   • Значит \(AD = DC\).

3. Нахождение \(AD\) и \(DC\):

   • В треугольнике \(ADC\) \(AD = DC = x\).
   • По теореме Пифагора для треугольника \(ADC\): \[ AC^2 = AD^2 + DC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2. \]

4. Использование данных о \(BC\):

   • \(BC = 6\sqrt{2}\).
   • \(\triangle ABC\) также имеет угол \(\angle C = 45^\circ\), следовательно, является равносторонним по тем же причинам, что и \( \triangle ADC \), и \(BC = AC\).

5. Подстановка в уравнение:

   • Если компромиссная длина диагонали \(AC = BC = 6\sqrt{2}\), тогда: \[ AC^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72. \]
   • Сравниваем с \(2x^2\): \[ 2x^2 = 72. \]
   • \(x^2 = 36 \Rightarrow x = 6\).

6. Ответ:

   • Следовательно, длина основания \(AD\) равна \(6\).

Таким образом, длина меньшего основания \(AD\) в прямоугольном трапеции равна \(6\).

\[ \boxed{6} \]