Реши задачи с картинки

Давайте разберем каждую задачу по очереди.

Задача 1

Гипербола задана уравнением \(9x^2 - 64y^2 = 1\). Найти:

• a, b, c, e, F1, F2, вершины, директрисы, ассимптоты.

Это уравнение гиперболы с центром в начале координат (0,0) вида: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Приравниваем:

• \(a^2 = \frac{1}{9}\), следовательно \(a = \frac{1}{3}\)
• \(b^2 = \frac{1}{64}\), следовательно \(b = \frac{1}{8}\)

Фокусное расстояние (c): \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{64}} \] \[ c = \sqrt{\frac{64 + 9}{576}} = \sqrt{\frac{73}{576}} = \frac{\sqrt{73}}{24} \]

Вершины:

• \( (\pm a, 0) = \left(\pm \frac{1}{3}, 0\right) \)

Фокусы (F1, F2):

• \( (\pm c, 0) = \left(\pm \frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right) \)

Директрисы:

• \( x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{1/3}{\sqrt{73}/24} = \pm \frac{8}{\sqrt{73}} \)

Ассимптоты:

• \( y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{8}{3} x \)

Задача 2

Уравнение эллипса, проходящего через точку \( M(2, -\frac{5}{3}) \) и имеющего эксцентриситет \(\varepsilon = \frac{2}{3}\).

Уравнение эллипса в канонической форме: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Эксцентриситет \(\varepsilon = \frac{c}{a}\), где \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\).

Дано \(\varepsilon = \frac{2}{3}\), значит: \[ \frac{c}{a} = \frac{2}{3} \implies c = \frac{2}{3}a \] \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \implies \left(\frac{2}{3}a\right)^2 = a^2 - b^2 \] \[ \frac{4}{9}a^2 = a^2 - b^2 \implies b^2 = \frac{5}{9}a^2 \]

Подставим координаты точки \( M(2, -\frac{5}{3}) \): \[ \frac{4}{a^2} + \frac{\left(-\frac{5}{3}\right)^2}{\frac{5}{9}a^2} = 1 \] \[ \frac{4}{a^2} + \frac{\frac{25}{9}}{\frac{5}{9}a^2} = 1 \] \[ \frac{4}{a^2} + \frac{5}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = 1 \implies a^2 = 9 \]

Следовательно, \(b^2 = \frac{5}{9} \cdot 9 = 5\).

Уравнение эллипса: \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \]

Задача 3

Найти уравнение поверхности, образованной вращением линии \(z^2 = 14y\) вокруг оси \(Oy\).

При вращении вокруг оси \(Oy\), уравнение становится: \[ z^2 + x^2 = 14y \]

Задача 4

Найти уравнение гиперболического параболоида с осью \(Ox\), проходящего через точку \(M(0,1; 5; 3)\), если его сечения плоскостью \(Oxy\) выражаются через \(y^2 = 10x\).

Форма уравнения параболоида: \[ z = ax^2 - by^2 \]

Уравнение гиперболы \(y^2 = 10x\) показывает, что \(a = 10\), поэтому: \[ z = 10x^2 - by^2 \]

Подставим точку \(M(0, 1, 5, 3)\): \[ 3 = 10 \cdot 0^2 - b \cdot 1 \implies b = -3 \]

Уравнение: \[ z = 10x^2 + 3y^2 \]

Задача 5

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(9x^2 + 4y^2 - 36z^2 - 36 = 0\) на сфере \(M(4, 3, 2)\).

Подставляем точку и исследуем функцию Лагранжа для ограничения: Сфера задана уравнением: \[ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = R^2 \]

Составим функцию Лагранжа: \[ \Phi(x, y, z, \lambda) = 9x^2 + 4y^2 - 36z^2 - 36 + \lambda ((x - 4)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 - R^2) \]

Рассматриваем производные и решаем систему уравнений для нахождения критических точек.

Это задача оптимизации и требует дальнейших шагов для нахождения сферического радиуса \(R\) и решения.

Если вдруг возникнут конкретные вопросы по математике или другим аспектам задачи, пишите!