Реши задачи с картинки

Давайте разберем каждую задачу по очереди. ### Задача 1 **Гипербола задана уравнением \(9x^2 - 64y^2 = 1\). Найти:** - **a, b, c, e, F1, F2, вершины, директрисы, ассимптоты.** Это уравнение гиперболы с центром в начале координат (0,0) вида: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Приравниваем: - \(a^2 = \frac{1}{9}\), следовательно \(a = \frac{1}{3}\) - \(b^2 = \frac{1}{64}\), следовательно \(b = \frac{1}{8}\) **Фокусное расстояние (c):** \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{64}} \] \[ c = \sqrt{\frac{64 + 9}{576}} = \sqrt{\frac{73}{576}} = \frac{\sqrt{73}}{24} \] **Вершины:** - \( (\pm a, 0) = \left(\pm \frac{1}{3}, 0\right) \) **Фокусы (F1, F2):** - \( (\pm c, 0) = \left(\pm \frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right) \) **Директрисы:** - \( x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{1/3}{\sqrt{73}/24} = \pm \frac{8}{\sqrt{73}} \) **Ассимптоты:** - \( y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{8}{3} x \) ### Задача 2 **Уравнение эллипса, проходящего через точку \( M(2, -\frac{5}{3}) \) и имеющего эксцентриситет \(\varepsilon = \frac{2}{3}\).** Уравнение эллипса в канонической форме: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Эксцентриситет \(\varepsilon = \frac{c}{a}\), где \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\). Дано \(\varepsilon = \frac{2}{3}\), значит: \[ \frac{c}{a} = \frac{2}{3} \implies c = \frac{2}{3}a \] \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \implies \left(\frac{2}{3}a\right)^2 = a^2 - b^2 \] \[ \frac{4}{9}a^2 = a^2 - b^2 \implies b^2 = \frac{5}{9}a^2 \] Подставим координаты точки \( M(2, -\frac{5}{3}) \): \[ \frac{4}{a^2} + \frac{\left(-\frac{5}{3}\right)^2}{\frac{5}{9}a^2} = 1 \] \[ \frac{4}{a^2} + \frac{\frac{25}{9}}{\frac{5}{9}a^2} = 1 \] \[ \frac{4}{a^2} + \frac{5}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = 1 \implies a^2 = 9 \] Следовательно, \(b^2 = \frac{5}{9} \cdot 9 = 5\). Уравнение эллипса: \[ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \] ### Задача 3 **Найти уравнение поверхности, образованной вращением линии \(z^2 = 14y\) вокруг оси \(Oy\).** При вращении вокруг оси \(Oy\), уравнение становится: \[ z^2 + x^2 = 14y \] ### Задача 4 **Найти уравнение гиперболического параболоида с осью \(Ox\), проходящего через точку \(M(0,1; 5; 3)\), если его сечения плоскостью \(Oxy\) выражаются через \(y^2 = 10x\).** Форма уравнения параболоида: \[ z = ax^2 - by^2 \] Уравнение гиперболы \(y^2 = 10x\) показывает, что \(a = 10\), поэтому: \[ z = 10x^2 - by^2 \] Подставим точку \(M(0, 1, 5, 3)\): \[ 3 = 10 \cdot 0^2 - b \cdot 1 \implies b = -3 \] Уравнение: \[ z = 10x^2 + 3y^2 \] ### Задача 5 **Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(9x^2 + 4y^2 - 36z^2 - 36 = 0\) на сфере \(M(4, 3, 2)\).** Подставляем точку и исследуем функцию Лагранжа для ограничения: Сфера задана уравнением: \[ (x - 4)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = R^2 \] Составим функцию Лагранжа: \[ \Phi(x, y, z, \lambda) = 9x^2 + 4y^2 - 36z^2 - 36 + \lambda ((x - 4)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 - R^2) \] Рассматриваем производные и решаем систему уравнений для нахождения критических точек. Это задача оптимизации и требует дальнейших шагов для нахождения сферического радиуса \(R\) и решения. Если вдруг возникнут конкретные вопросы по математике или другим аспектам задачи, пишите!