Реши

Чтобы решить задачу, начнем с уравнения гиперболы:

\[ \frac{9x^2}{1} - \frac{64y^2}{1} = 1 \]

Это уравнение гиперболы с центром в точке \((0, 0)\) и имеет вид:

\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Здесь:

• \(a^2 = 1/9\), откуда \(a = \frac{1}{3}\)
• \(b^2 = 1/64\), откуда \(b = \frac{1}{8}\)

Чтобы найти c, используем соотношение \(c^2 = a^2 + b^2\):

\[ c^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{64} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ c^2 = \frac{64}{576} + \frac{9}{576} = \frac{73}{576} \]

Отсюда:

\[ c = \sqrt{\frac{73}{576}} = \frac{\sqrt{73}}{24} \]

Основные элементы гиперболы:

1. Вершины: \( (\pm a, 0) = \left(\pm \frac{1}{3}, 0\right) \)

2. Фокусы: \( (\pm c, 0) = \left(\pm \frac{\sqrt{73}}{24}, 0\right) \)

3. Асимптоты: Уравнения асимптот имеют вид:

   \[ y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \left(\frac{1/8}{1/3}\right)x = \pm \frac{3}{8}x \]

4. Директрисы: Уравнение директрис имеет вид \(x = \pm \frac{a^2 + b^2}{a}\):

   \[ x = \pm \frac{\frac{73}{576}}{\frac{1}{3}} = \pm \frac{73}{192} \]

Теперь, чтобы изобразить гиперболу:

1. Отметьте вершины на осях \(x\).
2. Отметьте фокусы на осях \(x\).
3. Нарисуйте асимптоты, проходящие через центр \((0,0)\).
4. Используя вершины и асимптоты, нарисуйте гиперболу.

Гипербола будет открываться вправо и влево вдоль оси \(x\).