Давайте рассмотрим данную ситуацию более формально.
Обозначим количество пар знакомых людей как S. Общее количество возможных пар людей в группе из n человек равно C(n, 2) = n*(n-1)/2.
После проведения n вечеров каждая пара знакомых людей из S познакомится между собой на одном из вечеров. Таким образом, на n вечерах количество знакомых пар станет равным S + n.
Из условия задачи следует, что два человека останутся не знакомыми даже после проведения n вечеров. Это означает, что общее количество пар знакомых людей на n вечерах останется n*(n-1)/2 - 1.
Таким образом, на каждом из n вечеров добавится еще одна новая знакомая пара, и общее количество знакомых пар на n вечерах увеличится на n. То есть, после n вечеров количество знакомых пар станет равным n*(n-1)/2 - 1 + n = n*(n+1)/2 - 1.
Теперь докажем, что пара, которая осталась не знакомой после проведения n вечеров, не сможет познакомиться на следующем вечере. Если эта пара познакомится, то общее количество знакомых пар увеличится на 1, и они станут частью общего числа знакомых пар, которое станет равным n*(n+1)/2. Однако, согласно построенной выше последовательности, на n вечерах общее количество знакомых пар было равно n*(n+1)/2 - 1. Это противоречие показывает, что данная пара не сможет познакомиться на следующем вечере.
Таким образом, мы доказали, что два человека, которые не познакомились за n вечеров, не смогут познакомиться на следующем вечере.
