В группе из n человек некоторые знакомы между собой. Все по очереди устраивают вечера встреч, куда зовут всех своих знакомых и знакомят между собой. После этих n вечеров два…
В группе из n человек некоторые знакомы между собой. Все по очереди устраивают вечера встреч, куда зовут всех своих знакомых и знакомят между собой. После этих n вечеров два человека до сих пор не знакомы. Докажите, что на следующем вечере им тоже не удастся познакомиться
Давайте рассмотрим данную ситуацию более формально.
Обозначим количество пар знакомых людей как S. Общее количество возможных пар людей в группе из n человек равно C(n, 2) = n*(n-1)/2.
После проведения n вечеров каждая пара знакомых людей из S познакомится между собой на одном из вечеров. Таким образом, на n вечерах количество знакомых пар станет равным S + n.
Из условия задачи следует, что два человека останутся не знакомыми даже после проведения n вечеров. Это означает, что общее количество пар знакомых людей на n вечерах останется n*(n-1)/2 - 1.
Таким образом, на каждом из n вечеров добавится еще одна новая знакомая пара, и общее количество знакомых пар на n вечерах увеличится на n. То есть, после n вечеров количество знакомых пар станет равным n*(n-1)/2 - 1 + n = n*(n+1)/2 - 1.
Теперь докажем, что пара, которая осталась не знакомой после проведения n вечеров, не сможет познакомиться на следующем вечере. Если эта пара познакомится, то общее количество знакомых пар увеличится на 1, и они станут частью общего числа знакомых пар, которое станет равным n*(n+1)/2. Однако, согласно построенной выше последовательности, на n вечерах общее количество знакомых пар было равно n*(n+1)/2 - 1. Это противоречие показывает, что данная пара не сможет познакомиться на следующем вечере.
Таким образом, мы доказали, что два человека, которые не познакомились за n вечеров, не смогут познакомиться на следующем вечере.
