Для решения данной задачи, давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника через ( a ) и ( a+62 ) (где ( a ) - длина меньшего катета).
Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как половину произведения длины его катетов.
Известно, что площадь треугольника равна 31,5 см², поэтому у нас есть уравнение:
[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a+62) = 31,5 ]
Решим это уравнение.
Упростим уравнение:
[ a \cdot (a+62) = 63 ]
[ a^2 + 62a - 63 = 0 ]
Теперь найдем значения катетов, решив квадратное уравнение.
Сначала найдем дискриминант ( D ):
[ D = b^2 - 4ac ]
[ D = 62^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) ]
[ D = 3844 + 252 ]
[ D = 4096 ]
Теперь найдем значения катетов:
[ a = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} ] и ( a = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} )
[ a = \frac{-62 + \sqrt{4096}}{2} ]
[ a = \frac{-62 + 64}{2} ]
[ a = \frac{2}{2} = 1 ]
Таким образом, меньший катет равен 1 см, а больший катет равен ( 1 + 62 = 63 ) см.
Итак, длины катетов прямоугольного треугольника равны 1 см и 63 см.
