6. Найдите площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания 9, а апофемой 12.

Площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды можно найти по формуле:

S = (площадь основания) + (площадь боковой поверхности).

Для начала найдем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:

\(S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2,\)

где \(a = 9\) - сторона шестиугольника.

\(S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 9^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 81 = \frac{243\sqrt{3}}{2}.\)

Теперь найдем площадь боковой поверхности. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды можно найти по формуле:

\(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}P \times l,\)

где \(P\) - периметр основания, а \(l\) - апофема пирамиды.

Для шестиугольника \(P = 6 \times a = 6 \times 9 = 54,\) тогда

\(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 54 \times 12 = 324.\)

Наконец, найдем площадь поверхности пирамиды:

\(S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \frac{243\sqrt{3}}{2} + 324 = \frac{243\sqrt{3}}{2} + \frac{648}{2} = \frac{243\sqrt{3} + 648}{2} \approx 734.32.\)

Итак, площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна примерно 734.32.