Для решения этой задачи нам необходимо использовать закон Стефана-Больцмана, который устанавливает связь между температурой излучающего тела и интенсивностью излучения.
Интенсивность излучения спектра черного тела определяется формулой Планка:
[ B_\lambda(T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \cdot \left( e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1 \right)^{-1} ]
Где:
- ( B_\lambda(T) ) - интенсивность излучения
- ( T ) - температура излучающего тела
- ( h ) - постоянная Планка (( 6.626 \times 10^{-34} , \text{Дж} \cdot \text{с} ))
- ( c ) - скорость света (( 3 \times 10^8 , \text{м/с} ))
- ( \lambda ) - длина волны излучения в метрах (( 550 , \text{нм} = 550 \times 10^{-9} , \text{м} ))
- ( k ) - постоянная Больцмана (( 1.381 \times 10^{-23} , \text{Дж/К} ))
Находим интенсивность излучения спектра Солнца для данной длины волны:
[ B_{550\text{ нм}}(T_{\text{Солнца}}) = \frac{2\pi \cdot 6.626 \times 10^{-34} \cdot (3 \times 10^8)^2}{(550 \times 10^{-9})^5} \cdot \left( e^{\frac{6.626 \times 10^{-34} \cdot 3 \times 10^8}{550 \times 10^{-9} \cdot 1.381 \times 10^{-23} \cdot T_{\text{Солнца}}}} - 1 \right)^{-1} ]
Теперь уравняем эту интенсивность с интенсивностью излучения черного тела, используя закон Стефана-Больцмана:
[ B_{\lambda}(T) = \sigma \cdot T^4 ]
Где ( \sigma ) - постоянная Стефана-Больцмана (( 5.67 \times 10^{-8} , \text{Вт/(м}^2\text{·К}^4) )).
Получаем:
[ \frac{2\pi \cdot 6.626 \times 10^{-34} \cdot (3 \times 10^8)^2}{(550 \times 10^{-9})^5} \cdot \left( e^{\frac{6.626 \times 10^{-34} \cdot 3 \times 10^8}{550 \times 10^{-9} \cdot 1.381 \times 10^{-23} \cdot T_{\text{Солнца}}}} - 1 \right)^{-1} = 5.67 \times 10^{-8} \cdot T_{\text{Солнца}}^4 ]
Решив это уравнение, мы найдем температуру поверхности Солнца, соответствующую интенсивности излучения на длине волны 550 нм.
