Трехзначное число, сложили с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. В сумме получилось число 685. Найдите сумму цифр исходного числа.

**Решение:** Пусть исходное трехзначное число состоит из сотен, десятков и единиц: Пусть сотенное разряд - \( a \), десятичное - \( b \), и единичное - \( c \). Исходное число: \( 100a + 10b + c \) Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке: \( 100c + 10b + a \) Согласно условию задачи, сумма этих чисел равна 685: \[100a + 10b + c + 100c + 10b + a = 685\] \[101a + 20b + 101c = 685\] \[101a + 101c + 20b = 685\] \[101(a + c) + 20b = 685\] Так как \(a\), \(b\), и \(c\) - однозначные числа, то \(a + c \leq 9\), в противном случае сумма не будет трехзначным числом. Из уравнения выше мы видим, что \(101(a + c)\) является кратным 101, а значит сумма этих чисел также должна быть кратной 101. Так как 685 не делится на 101 без остатка, это означает, что решения нет. Мы не можем найти такое трехзначное число, удовлетворяющее условию задачи. Следовательно, сумма цифр исходного числа найти невозможно.