Две окружности имеют общую хорду. Докажите, что она перпендикулярна прямой, на которой лежат их центры.
Для доказательства данного утверждения нам потребуется рассмотреть несколько шагов:
- Пусть \(O_1\) и \(O_2\) – центры данных окружностей, а \(AB\) – общая хорда, где \(A\) и \(B\) – точки пересечения окружностей. Таким образом, у нас возникает следующая ситуация:
\[ \begin{array}{c} \text{---} O_1 \text{--- A ---} O_2 \text{---} B \text{---} \\ \end{array} \]
Обозначим \(\angle A\) и \(\angle B\) – углы, образованные дугами, исходящими из центров окружностей \(O_1\) и \(O_2\) и лежащими между хордой и радиусами.
Поскольку хорда \(AB\) одинаково удалена от центров \(O_1\) и \(O_2\), то углы \(\angle A\) и \(\angle B\) будут равны, так как соответствующие дуги также равны для этих окружностей.
Теперь рассмотрим треугольники \(O_1AO_2\) и \(O_2BO_1\). У них противоположные стороны равны - это радиусы окружностей, а также углы \(\angle A\) и \(\angle B\) равны. Это значит, что эти треугольники равны по двум сторонам и углу.
Следовательно, у этих треугольников равны и противоположные стороны, т.е. \(AO_1 = BO_1\) и \(AO_2 = BO_2\).
Так как прямые центр-точка пересечения хорды \(AB\) перпендикулярны самой хорде (хорда проходит через центр под углом 90 градусов), то у нас получается, что хорда \(AB\) перпендикулярна прямой, на которой лежат центры окружностей \(O_1\) и \(O_2\).
Таким образом, мы доказали, что общая хорда двух окружностей перпендикулярна прямой, на которой лежат их центры.
