В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 10, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 5/3.

Для решения данной задачи нам понадобятся основные свойства трапеции и знание геометрии.

Обозначим размеры сторон трапеции следующим образом:

• \( AD = a \) (меншее основание),
• \( BC = b \) (большее основание),
• \( AB = h \) (высота трапеции),
• \( BD = 10 \) (диагональ).

Известно, что BD — диагональ трапеции, делит ее на два прямоугольных треугольника. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что \( \cos \angle A = \frac{AB}{BD} \), где \( BD = 10 \).

Учитывая, что \( \angle A = 45° \), получаем \( \cos 45° = \frac{AB}{10} \). Так как \( \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} \), то \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{AB}{10} \), откуда \( AB = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \).

Теперь рассмотрим треугольник ABD. По теореме Пифагора для него: \[ AB^2 + AD^2 = BD^2 \] \[ (5\sqrt{2})^2 + (\frac{5}{3})^2 = 10^2 \] \[ 50 + \frac{25}{9} = 100 \] \[ \frac{450 + 25}{9} = 100 \] \[ \frac{475}{9} = 100 \] \[ BC = b = \frac{475}{9} \]

Таким образом, большая боковая сторона трапеции равна \( \frac{475}{9} \).