Решить задачу

Для решения этой задачи воспользуемся законом Джоуля–Ленца, который описывает количество выделяемого тепла:

\[ Q = I^2 \cdot R \cdot t, \]

где \( Q \) — количество тепла, \( I \) — ток, проходящий через резистор, \( R \) — сопротивление резистора, и \( t \) — время.

Дано:

1. Для первого резистора \( R_1 = 5 \text{ Ом} \).
2. Время для первого резистора \( t_1 = 2 \text{ мин} = 120 \text{ с} \).
3. Время для второго резистора \( t_2 = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с} \).
4. Количество тепла, выделяемое в обоих случаях, одинаково.

Необходимо найти: \( R_2 \) — сопротивление второго резистора.

Решение:

Поскольку \( Q_1 = Q_2 \), можем написать:

\[ I_1^2 \cdot R_1 \cdot t_1 = I_2^2 \cdot R_2 \cdot t_2. \]

Поскольку резисторы подключены параллельно, напряжение на обоих резисторах одинаково. Таким образом, используя закон Ома (\( V = I \cdot R \), то есть \( I = \frac{V}{R} \)), можем выразить ток через напряжение и сопротивление:

\[ I_1 = \frac{V}{R_1} \] и \( I_2 = \frac{V}{R_2}. \] Подставим это в уравнение тепловых балансов: \[ \left(\frac{V}{R_1}\right)^2 \cdot R_1 \cdot t_1 = \left(\frac{V}{R_2}\right)^2 \cdot R_2 \cdot t_2. \] Сократим \( V^2 \) и упростим:

\[ \frac{t_1}{R_1} = \frac{t_2}{R_2}. \]

Откуда:

\[ R_2 = R_1 \cdot \frac{t_2}{t_1}. \]

Подставим известные значения:

\[ R_2 = 5 \, \text{Ом} \cdot \frac{60 \, \text{с}}{120 \, \text{с}} = 5 \, \text{Ом} \cdot \frac{1}{2} = 2.5 \, \text{Ом}. \]

Таким образом, сопротивление второго резистора \( R_2 \) равно \( 2.5 \, \text{Ом} \).