реши номер 4

Чтобы решить задачу номер 4, разберём её по частям:

4. Найти координаты точек пересечения прямой и окружности, если уравнение окружности $: x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0: $, а уравнение прямой $: x + 3y - 3 = 0: $.

Шаг 1: Приведем уравнение окружности к стандартному виду.

Уравнение окружности: \[ x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0 \]

Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты:

1. Для \(x\): \[ x^2 - 6x \] Вспомним формулу квадрата суммы: \((x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2\). Нужно добавить и вычесть \(9\) (так как \((-3)^2 = 9\)): \[ (x - 3)^2 - 9 \]

2. Для \(y\): \[ y^2 + 8y \] Аналогично, добавим и вычтем \(16\) (так как \(4^2 = 16\)): \[ (y + 4)^2 - 16 \]

Теперь перепишем уравнение окружности: \[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 + 9 = 0 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 - 16 = 0 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 \]

Это уравнение окружности с центром в точке \((3, -4)\) и радиусом \(4\).

Шаг 2: Подставим уравнение прямой в уравнение окружности.

Уравнение прямой: \[ x + 3y - 3 = 0 \] Выразим \(x\) через \(y\): \[ x = 3 - 3y \]

Теперь подставим в уравнение окружности: \[ ((3 - 3y) - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 \] \[ (-3y)^2 + (y + 4)^2 = 16 \] \[ 9y^2 + y^2 + 8y + 16 = 16 \] \[ 10y^2 + 8y = 0 \]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение.

Вынесем за скобки: \[ 2y(5y + 4) = 0 \]

Получаем два решения:

1. \( 2y = 0 \) => \( y = 0 \)
2. \( 5y + 4 = 0 \) => \( y = -\frac{4}{5} \)

Шаг 4: Найдём соответствующие значения \(x\).

1. Для \( y = 0 \): \[ x = 3 - 3(0) = 3 \] Точка пересечения: \( (3, 0) \)

2. Для \( y = -\frac{4}{5} \): \[ x = 3 - 3\left(-\frac{4}{5}\right) = 3 + \frac{12}{5} = \frac{15}{5} + \frac{12}{5} = \frac{27}{5} \] Точка пересечения: \( \left(\frac{27}{5}, -\frac{4}{5}\right) \)

Ответ:

Координаты точек пересечения прямой с окружностью: \[ (3, 0) \] \[ \left(\frac{27}{5}, -\frac{4}{5}\right) \]