Реши номер 4

Чтобы решить задачу номер 4, разберём её по частям: 4. Найти координаты точек пересечения прямой и окружности, если уравнение окружности $\: x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\: $, а уравнение прямой $\: x + 3y - 3 = 0\: $. **Шаг 1:** Приведем уравнение окружности к стандартному виду. Уравнение окружности: \[ x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0 \] Сгруппируем переменные и выделим полные квадраты: 1. Для \(x\): \[ x^2 - 6x \] Вспомним формулу квадрата суммы: \((x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2\). Нужно добавить и вычесть \(9\) (так как \((-3)^2 = 9\)): \[ (x - 3)^2 - 9 \] 2. Для \(y\): \[ y^2 + 8y \] Аналогично, добавим и вычтем \(16\) (так как \(4^2 = 16\)): \[ (y + 4)^2 - 16 \] Теперь перепишем уравнение окружности: \[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 + 9 = 0 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 - 16 = 0 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 \] Это уравнение окружности с центром в точке \((3, -4)\) и радиусом \(4\). **Шаг 2:** Подставим уравнение прямой в уравнение окружности. Уравнение прямой: \[ x + 3y - 3 = 0 \] Выразим \(x\) через \(y\): \[ x = 3 - 3y \] Теперь подставим в уравнение окружности: \[ ((3 - 3y) - 3)^2 + (y + 4)^2 = 16 \] \[ (-3y)^2 + (y + 4)^2 = 16 \] \[ 9y^2 + y^2 + 8y + 16 = 16 \] \[ 10y^2 + 8y = 0 \] **Шаг 3:** Решим квадратное уравнение. Вынесем за скобки: \[ 2y(5y + 4) = 0 \] Получаем два решения: 1. \( 2y = 0 \) => \( y = 0 \) 2. \( 5y + 4 = 0 \) => \( y = -\frac{4}{5} \) **Шаг 4:** Найдём соответствующие значения \(x\). 1. Для \( y = 0 \): \[ x = 3 - 3(0) = 3 \] Точка пересечения: \( (3, 0) \) 2. Для \( y = -\frac{4}{5} \): \[ x = 3 - 3\left(-\frac{4}{5}\right) = 3 + \frac{12}{5} = \frac{15}{5} + \frac{12}{5} = \frac{27}{5} \] Точка пересечения: \( \left(\frac{27}{5}, -\frac{4}{5}\right) \) **Ответ:** Координаты точек пересечения прямой с окружностью: \[ (3, 0) \] \[ \left(\frac{27}{5}, -\frac{4}{5}\right) \]