Решение:
Пусть $BC = x$. Так как трапеция равнобедренная, то $AD = x + 6$, где 6 - сумма отрезков 1 и 5.
Также, по условию, высота из вершины C делит основание AD на отрезки, соответственно, имеем $CD = \frac{5}{6}(x+6)$ и $DA = \frac{1}{6}(x+6)$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC.
По теореме Пифагора:
$AC^2 = AD^2 - CD^2$
Подставляем выражения для AD и CD:
$\left(\frac{1}{6}(x+6)\right)^2 + h^2 = \left(\frac{5}{6}(x+6)\right)^2$
Раскрываем скобки и упрощаем:
$\frac{1}{36}(x^2 + 12x + 36) + h^2 = \frac{25}{36}(x^2 + 12x + 36)$
Упрощаем дроби и раскрываем скобки:
$\frac{1}{36}x^2 + \frac{1}{3}h^2 = \frac{25}{36}x^2 + \frac{25}{3}h^2$
Далее упрощаем уравнение:
$\frac{24}{36}x^2 = \frac{24}{3}h^2$
$x^2 = 3h^2$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCD.
По теореме Пифагора:
$BC^2 = CD^2 - BD^2$
Подставляем данные:
$x^2 = \left(\frac{5}{6}(x+6)\right)^2 - h^2$
Упрощаем и раскрываем скобки:
$x^2 = \frac{25}{36}(x^2 + 12x + 36) - 3h^2$
$x^2 = \frac{25}{36}x^2 + \frac{25}{3}x + 25 - 3h^2$
$x^2 - \frac{25}{36}x^2 - \frac{25}{3}x - 25 + 3h^2 = 0$
$\frac{11}{36}x^2 - \frac{25}{3}x + 3h^2 - 25 = 0$
Зная, что $\frac{x^2}{3} = h^2$, мы имеем:
$\frac{11}{36}x^2 - \frac{25}{3}x + x^2 - 25 = 0$
Упрощаем уравнение:
$11x^2 - 300x + 36x^2 - 900 = 0$
$47x^2 - 300x - 900 = 0$
$x = \frac{300 \pm \sqrt{300^2 - 4 \cdot 47 \cdot -900}}{2 \cdot 47}$
$x = \frac{300 \pm \sqrt{90000 + 169200}}{94}$
$x = \frac{300 \pm \sqrt{259200}}{94}$
$x = \frac{300 \pm 540}{94}$
Таким образом, решая уравнение, получаем:
$x = \frac{300 + 540}{94} = \frac{840}{94} = 8.936$
$x = \frac{300 - 540}{94} = \frac{-240}{94} = -2.553$
Так как длина основания не может быть отрицательной, отбрасываем отрицательное решение. Получаем, что $BC \approx 8.936$.
Итак, длина основания $BC$ равна примерно 8.936.
